Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Площадь комнаты (19 \frac{2}{7}) можно записать как:
[
19 \frac{2}{7} = 19 + \frac{2}{7} = \frac{19 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{133}{7}
]

Длину (3 \frac{3}{14}) преобразуем следующим образом:
[
3 \frac{3}{14} = 3 + \frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}
]

Теперь, зная площадь (S = \frac{133}{7}) и длину (L = \frac{45}{14}), можем найти ширину (W) с помощью формулы для площади прямоугольника:
[
S = L \cdot W \Rightarrow W = \frac{S}{L}
]
Подставим значения:
[
W = \frac{\frac{133}{7}}{\frac{45}{14}} = \frac{133}{7} \cdot \frac{14}{45} = \frac{133 \cdot 14}{7 \cdot 45}
]
Упростим:
[
W = \frac{133 \cdot 2}{45} = \frac{266}{45}
]

Теперь можем найти периметр (P) прямоугольной комнаты по формуле:
[
P = 2(L + W)
]
Подставляем значения:
[
P = 2\left(\frac{45}{14} + \frac{266}{45}\right)
]
Сначала найдем сумму (L + W) в общем знаменателе. Найдем общий знаменатель для дробей:
[
L = \frac{45}{14} = \frac{45 \cdot 45}{14 \cdot 45} = \frac{2025}{630}
]
[
W = \frac{266}{45} = \frac{266 \cdot 14}{45 \cdot 14} = \frac{3724}{630}
]
Теперь сложим дроби:
[
L + W = \frac{2025 + 3724}{630} = \frac{5749}{630}
]

Теперь подставим в формулу для периметра:
[
P = 2 \cdot \frac{5749}{630} = \frac{11498}{630}
]

Упростим дробь:
[
\frac{11498 \div 2}{630 \div 2} = \frac{5749}{315}
]

Таким образом, периметр комнаты составляет:
[
\boxed{\frac{5749}{315}}
]