Давайте решим предложенные вами задачи по математике.

Задача 1

Координаты четвёртой вершины параллелограмма:

Даны точки ( A(2, 4, 3) ), ( B(-2, 5, 6) ) и ( C(-3, 1, 7) ). Поскольку ( A ) и ( C ) – это противоположные вершины, мы можем использовать формулу для нахождения координат ( D ) четвёртой вершины:
[
D = B + (C - A)
]
Вычислим координаты:
[
C - A = (-3 - 2, 1 - 4, 7 - 3) = (-5, -3, 4)
]
Теперь добавим этот вектор к координатам точки ( B ):
[
D = (-2, 5, 6) + (-5, -3, 4) = (-2 - 5, 5 - 3, 6 + 4) = (-7, 2, 10)
]
Таким образом, координаты четвёртой вершины ( D ) равны:
[
D(-7, 2, 10)
]

Задача 2

Координаты вершин треугольника по серединам:

Даны середины сторон ( M(2, 5, -1) ), ( K(-1, 4, 7) ) и ( P(3, 4, 1) ).

Пусть координаты вершин треугольника будут ( A(x_1, y_1, z_1) ), ( B(x_2, y_2, z_2) ), ( C(x_3, y_3, z_3) ).

Середина стороны ( AB ):
[
M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = (2, 5, -1)
]
Середина стороны ( BC ):
[
K = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2}\right) = (-1, 4, 7)
]
Середина стороны ( AC ):
[
P = \left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2}\right) = (3, 4, 1)
]

Теперь решим систему уравнений:

1) ( \frac{x_1 + x_2}{2} = 2 \rightarrow x_1 + x_2 = 4 ) \
2) ( \frac{y_1 + y_2}{2} = 5 \rightarrow y_1 + y_2 = 10 ) \
3) ( \frac{z_1 + z_2}{2} = -1 \rightarrow z_1 + z_2 = -2 ) \

4) ( \frac{x_2 + x_3}{2} = -1 \rightarrow x_2 + x_3 = -2 ) \
5) ( \frac{y_2 + y_3}{2} = 4 \rightarrow y_2 + y_3 = 8 ) \
6) ( \frac{z_2 + z_3}{2} = 7 \rightarrow z_2 + z_3 = 14 ) \

7) ( \frac{x_1 + x_3}{2} = 3 \rightarrow x_1 + x_3 = 6 ) \
8) ( \frac{y_1 + y_3}{2} = 4 \rightarrow y_1 + y_3 = 8 ) \
9) ( \frac{z_1 + z_3}{2} = 1 \rightarrow z_1 + z_3 = 2 ) \

Решив систему, мы находим:

Из уравнений 1) и 4): ( x_1 + x_2 = 4 ) и ( x_2 + x_3 = -2 )
[
x_2 = -2 - x_3
]

Подставляя в первое уравнение и используя 7) получаем:
[
x_1 + (-2 - x_3) = 4 \quad \text{и} \quad x_1 + x_3 = 6 \
x_1 - 2 - x_3 = 4 \rightarrow x_1 = x_3 + 6
]

Аналогично решаем для (y) и (z):

Для (y):
[
y_1 + y_2 = 10 \quad и \quad y_2 + y_3 = 8 \
y_1 + (-y_3 + 8) = 10 \rightarrow y_1 + y_3 = 12
]

И для (z):
[
z_1 + z_2 = -2 \quad и \quad z_2 + z_3 = 14 \
z_1 + (-z_3 + 14) = -2
]

Таким образом, решая систему, вы можете найти ( (x_1, y_1, z_1) ), ( (x_2, y_2, z_2) ), ( (x_3, y_3, z_3) ).

Задача 3

Проверка треугольника на равнобедренность:

Вычислим длины сторон:
[
AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-2 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]
[
AC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]
[
BC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (5 - (-2))^2 + (9 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 49 + 100} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}
]

Треугольник равнобедренный, если хотя бы две стороны равны.
Поскольку ( AB = AC = 5\sqrt{2} ), треугольник равнобедренный.

Задача 4

Проверка на прямоугольность:

Вычислим длины сторон:
[
AB = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68}
]
[
BC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
]
[
AC = \sqrt{(6 - 8)^2 + (-6 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56}
]

Проверяем условия теоремы Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]

Если не соблюдается, треугольник не прямоугольный.

Задача 5

Длина медианы ( AE ):

Координаты средней точки ( E ) от ( B ) и ( C ):
[
E\left(\frac{(-2 + 7)}{2}, \frac{(3 + 8)}{2}, \frac{(6 - 1)}{2}\right) = E\left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}, \frac{5}{2}\right)
]

Теперь находим длину ( AE ):
[
AE = \sqrt{\left(4 - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{11}{2}\right)^2 + \left(5 - \frac{5}{2}\right)^2}
]

А затем вычисляем.

Задача 6

Величина угла ( BAC ):

Используем векторный метод.
Рассчитаем векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{CA} ):
[
\vec{BA} = (7 - (-1), 1 - 3, -1 - 0) = (8, -2, -1)
]
[
\vec{CA} = (7 - (-3), 1 - 5, -1 - (-3)) = (10, -4, 2)
]

Угол ( \phi ) между ними может быть найден с использованием скалярного произведения:
[
\cos \phi = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{CA}}{|\vec{BA}| |\vec{CA}|}
]

Далее следуют вычисления.

Если вам нужна дополнительная помощь с конкретными частями или формулами, дайте знать!