Давайте проанализируем данную задачу. Обозначим углы при вершинах треугольника следующим образом:

угол A = α,угол B = β,угол C = γ.

Согласно информации из задачи, биссектриса AD угла A пересекает медиану BE в такой точке, что AE = ED. Это говорит о том, что точка E является серединой отрезка AD, то есть AE = ED.

Кроме того, мы знаем, что AD = DC. Это также удобно использовать, чтобы понять, что треугольник ACD равнобедренный.

Теперь мы можем сформулировать, что поскольку AD = DC, это означает, что углы при основании треугольника ACD равны. Обозначим угол ACD как δ. Это значит, что угол CAD равен δ тоже.

Угол A и угол C в треугольнике ABC могут быть выражены через β и γ:

α = 2δ (из-за свойств биссектрисы, делящей угол A).угол DAB = угол DAC = δ.

Теперь, нам необходимо найти значения углов, учитывая, что сумма всех углов в треугольнике AБC равна 180°. Для треугольника ABC можно записать:

[
\alpha + \beta + \gamma = 180°.
]

Подставим в это уравнение:

[
2\delta + \beta + \gamma = 180°.
]

Так как треугольник ACD равнобедренный, мы можем установить некоторые соотношения между углами B и C. Мы видим, что:

угол ACB (γ) равен δ (так как AD = DC).угол BAC (α) равен 2δ.

Теперь у нас имеется система уравнений. Давайте выразим γ через δ:

[
\beta + δ + 2δ = 180° \rightarrow \beta + 3δ = 180° \rightarrow \beta = 180° - 3δ.
]

Теперь, чтобы найти максимальный угол в треугольнике, вспомним, что для соблюдения условий треугольника все углы должны быть больше нуля. Таким образом, δ не может быть слишком большим; в частности, δ не может превысить 60° (потому что тогда бы β оказался отрицательным).

Теперь, подставив максимальное значение δ = 60° в β, мы получаем:

[
β = 180° - 3 \cdot 60° = 0°,
]

что не соответствует условию.

Теперь проверьте минимальное значение δ, чтобы удовлетворить условиям:

Если δ → 0°, тогда угол α будет равным 0°, что также не подходит.

Таким образом, нужно искать подходящие углы. Если окажется, что δ = 30°, то:

[
β = 180° - 3 \cdot 30° = 90°.
]

Теперь мы можем проверить углы:

угол A = 2 \cdot 30° = 60°,угол B = 90°,угол C = 180° - 60° - 90° = 30°.

Таким образом, в этом треугольнике самый крупный угол – это угол B, который равен 90°.

Ответ: 90°.