Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ), сначала нужно сложить векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Векторы заданы так:
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}
]

Сложим векторы:
[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 1 \ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -3 \end{pmatrix}
]

Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \ -3 \end{pmatrix} ). Длина вектора вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( x ) и ( y ) — компоненты вектора.

В нашем случае:
[
|\mathbf{c}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
]

Таким образом, длина вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ) равна ( 5 ).