Для решения задачи обозначим длину катета равнобедренного прямоугольного треугольника через ( a ). Площадь такого треугольника может быть найдена по формуле:

[
S = \frac{a^2}{2}
]

Согласно условию, площадь треугольника больше длины катета в 6 раз. Запишем это в виде уравнения:

[
S = 6a
]

Теперь подставим выражение для площади:

[
\frac{a^2}{2} = 6a
]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

[
a^2 = 12a
]

Перепишем уравнение:

[
a^2 - 12a = 0
]

Вынесем ( a ) за скобки:

[
a(a - 12) = 0
]

Это уравнение имеет два корня: ( a = 0 ) или ( a = 12 ). Мы отбрасываем ( a = 0 ), так как это не соответствует условиям задачи.

Теперь, когда мы знаем, что ( a = 12 ), найдем гипотенузу ( c ) равнобедренного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

[
c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
]

Подставим значение ( a ):

[
c = 12\sqrt{2}
]

Таким образом, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна ( 12\sqrt{2} ).