Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
]

где (a) — основание треугольника, (h) — высота. В данном случае основанием будет отрезок AC, а высотой — отрезок BH.

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC = 41 мм, и высота BH делит основание AC пополам. Обозначим отрезок AH = HC = x. Таким образом, можно выразить основание AC как:

[
AC = AH + HC = x + x = 2x
]

Согласно теореме Пифагора в треугольнике ABH:

[
AB^2 = AH^2 + BH^2
]

Подставим известные значения:

[
41^2 = x^2 + 9^2
]

[
1681 = x^2 + 81
]

Вычтем 81 из обеих сторон уравнения:

[
1681 - 81 = x^2
]
[
1600 = x^2
]

Теперь найдём (x):

[
x = \sqrt{1600} = 40 \text{ мм}
]

Теперь можем найти длину основания AC:

[
AC = 2x = 2 \cdot 40 = 80 \text{ мм}
]

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 9 = 360 \text{ мм}^2
]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна (360 \text{ мм}^2).