Для нахождения объема конуса можно использовать следующую формулу:

$$V=\frac{1}{3}{S}_{b}h$$

где $V$ — объем конуса, $S_b$ — площадь основания конуса, $h$ — высота конуса.

Площадь основания конуса $S_b$ равна $11\pi {\text{см}}^2$.

Площадь полной поверхности $S_p$ конуса вычисляется по формуле:

$$S_p=S_b+S_k$$

где $S_k$ — площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус основания $r$ и образующую $l$ $длиннаобразующей$:

$$S_k=\pi rl$$

Таким образом, мы имеем:

$$S_p=S_b+\pi rl$$

Подставим известные значения:

$$26\pi =11\pi +\pi rl$$

Упростим уравнение:

$$26\pi -11\pi =\pi rl$$ $$15\pi =\pi rl$$

Разделим обе стороны на $\pi$:

$$15=rl$$

Теперь нам нужно найти $h$. Мы знаем, что для конуса выполняется отношение между $r$, $h$ и $l$:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}$$

Подставим $l$ в уже полученное уравнение:

$$15=r\sqrt{r^2+h^2}$$

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся площадью основания конуса:

$$S_b=\pi r^2=11\pi \Rightarrow r^2=11\Rightarrow r=\sqrt{11}$$

Теперь подставим $r$ в уравнение $15=r\sqrt{r^2+h^2}$:

$$15=\sqrt{11}\sqrt{11+h^2}$$

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$225=11(11+h^2)$$ $$225=121+11h^2$$ $$225-121=11h^2$$ $$104=11h^2$$ $$h^2=\frac{104}{11}$$ $$h=\sqrt{\frac{104}{11}}=\frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$$

Теперь найдем объем $V$:

$$V=\frac{1}{3}{S}_{b}h=\frac{1}{3}\cdot 11\pi \cdot \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$$

Упростим:

$$V=\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}}=\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}}{\text{см}}^3$$

Таким образом, объем конуса равен $\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}}{\text{см}}^3$.