Чтобы проанализировать бинарное отношение $R$ на множестве $A$ $где(A\subseteq {\mathbb{R}}^2)иотношениезаданокак(2x+y\ge 0)$, нам нужно рассмотреть определенные свойства этого отношения: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность и иррефлексивность.

Рефлексивность:
Отношение $R$ является рефлексивным, если для любого $(x,y)\in A$ выполняется $(x,y)R(x,y)$. Это означает, что $2x+y\ge 0$ для любых $(x,y)$. Если мы подставим $y=y$, то не для каждого значения $y$ это неравенство может выполняться $например,(x=0,y=-1)невыполняется$. Следовательно, отношение не является рефлексивным.

Симметричность:
Отношение $R$ симметрично, если для любых $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A$, если $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$, то $(x_2,y_2)R(x_1,y_1)$. В нашем случае, если $2x_1+y_2\ge 0$, это не обязательно будет верно для $2x_2+y_1$. Например, если $(1,-2)$ и $(2,-5)$ удовлетворяют первому условию, второе может не выполняться. Поэтому отношение не является симметричным.

Антисимметричность:
Отношение $R$ антисимметрично, если для любых $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$, если $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$ и $(x_2,y_2)R(x_1,y_1)$, то $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$. Для данного отношения, если $2x_1+y_2\ge 0$ и $2x_2+y_1\ge 0$, это не дает нам гарантии, что $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ одинаковы. Таким образом, отношение не является антисимметричным.

Транзитивность:
Отношение $R$ транзитивно, если для любых $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$, если $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$ и $(x_2,y_2)R(x_3,y_3)$, тогда $(x_1,y_1)R(x_3,y_3)$. Однако, если $2x_1+y_2\ge 0$ и $2x_2+y_3\ge 0$, это не всегда будет означать, что $2x_1+y_3\ge 0$. Поэтому отношение не является транзитивным.

Иррефлексивность:
Отношение $R$ является иррефлексивным, если для любого $(x,y)\in A$ не выполняется $(x,y)R(x,y)$. Поскольку для некоторых значений $x$ и $y$ возможно, что $2x+y=0$, это говорит о том, что отношение может быть рефлексивным для некоторых элементов, а значит также и не быть иррефлексивным.

В итоге:

Отношение не рефлексивно.Отношение не симметрично.Отношение не антисимметрично.Отношение не транзитивно.Отношение не иррефлексивно.