Для решения задачи сначала определим необходимые элементы правильной четырёхугольной призмы.

а) Диагональ призмы:

Найдём высоту призмы. Сторона основания равна 5, тогда длина диагонали основания $квадрат$ определяется по формуле:
$$d_{осн}=a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$

Так как угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 45 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрией для нахождения высоты призмы $h$:
$$\tan (45^{\circ })=\frac{h}{d_{осн}}$$ $$1=\frac{h}{5\sqrt{2}}$$ откуда
$$h=5\sqrt{2}.$$

Теперь найдем диагональ призмы $d<em>призмы$. Диагональ призмы можно выразить через высоту и диагональ основания:
$$d</em>призмы=\sqrt{d_{осн}^2+h^2}=\sqrt{(5\sqrt{2}{)}^2+(5\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{50+50}=\sqrt{100}=10.$$

Таким образом, диагональ призмы равна 10.

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани:

Для нахождения угла между диагональю призмы и плоскостью боковой грани, необходимо учитывать, что диагональ боковой грани perpendicular диагонали основания.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю призмы, высотой призмы и половиной диагонали основания. Обозначим угол между диагональю призмы и боковой гранью как $\alpha$, тогда:
$$\tan (\alpha )=\frac{d_{осн}/2}{h}=\frac{(5\sqrt{2})/2}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$

Угол $\alpha$ можно найти как:
$$\alpha =\arctan (0.5)\approx 26.57^{\circ }.$$

в) Площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности $P$ правильной призмы можно найти по формуле:
$$P=периметр\times высота.$$

Периметр основания:
$$P_{осн}=4\cdot a=4\cdot 5=20.$$

Площадь боковой поверхности:
$$P=P_{осн}\cdot h=20\cdot 5\sqrt{2}=100\sqrt{2}.$$

Итак, результирующие ответы:
а) Диагональ призмы: 10;
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани: $\approx 26.57^{\circ }$;
в) Площадь боковой поверхности призмы: $100\sqrt{2}$.