В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, у нас есть данные:

Для решения задачи воспользуемся свойством высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Высота делит гипотенузу на два отрезка: $AD$ и $DB$.

Сначала найдем длину другого катета $AC$ с помощью теоремы Пифагора:

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{см}.$$

Теперь используем формулу для высоты $h$ в прямоугольном треугольнике:

$$h=\frac{BC\cdot AC}{AB}.$$

Подставим известные значения:

$$h=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{8}=\frac{16\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\text{см}.$$

Теперь можем использовать теорему о отношении отрезков, на которые высота разбивает гипотенузу:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{A{C}^2}{B{C}^2}.$$

Подставляем найденные значения:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{(4\sqrt{3}{)}^2}{4^2}=\frac{48}{16}=3.$$

Обозначим $DB=x$, тогда $AD=3x$.

Поэтому:

$$AD+DB=AB⟹3x+x=8⟹4x=8⟹x=2.$$

Таким образом, $DB=2$ см.

Ответ: отрезок $BD=2$ см.