31.1 Итоговый тест На доске выписаны первые 200 натуральных чисел в порядке возрастания. Два из этих чисел покрасили в оранжевый цвет, а все числа между ними — в жёлтый. Оказалось, что сумма оранжевых чисел равна 107, а сумма жёлтых — 535. Чему может быть равно большее оранжевое число? Укажите все возможные варианты.
Пусть два оранжевых числа обозначим как a a a и b b b (где ( a < b )). Тогда, согласно условию, сумма оранжевых чисел равна
a+b=107.
a + b = 107. a+b=107.
Числа, между a a a и b b b, окрашиваются в жёлтый цвет. Если a a a и b b b — это два оранжевых числа, то количество жёлтых чисел будет равно b−a−1 b - a - 1 b−a−1.
Сумма всех жёлтых чисел между a a a и b b b можно выразить через формулу суммы арифметической прогрессии:
S=n2⋅(x1+xn),
S = \frac{n}{2} \cdot (x_1 + x_n), S=2n⋅(x1+xn),
где n n n — количество членов, x1 x_1 x1 — первый член, xn x_n xn — последний член прогрессии. В нашем случае:
Первый член x1=a+1 x_1 = a + 1 x1=a+1,Последний член xn=b−1 x_n = b - 1 xn=b−1,Количество членов n=b−a−1 n = b - a - 1 n=b−a−1.
Таким образом, сумма жёлтых чисел будет равна:
Сумма жёлтых=b−a−12⋅((a+1)+(b−1))=b−a−12⋅(a+b)=b−a−12⋅107.
\text{Сумма жёлтых} = \frac{b - a - 1}{2} \cdot ((a + 1) + (b - 1)) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot (a + b) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107. Суммажёлтых=2b−a−1⋅((a+1)+(b−1))=2b−a−1⋅(a+b)=2b−a−1⋅107.
Пусть два оранжевых числа обозначим как a a a и b b b (где ( a < b )). Тогда, согласно условию, сумма оранжевых чисел равна
a+b=107. a + b = 107.
a+b=107.
Числа, между a a a и b b b, окрашиваются в жёлтый цвет. Если a a a и b b b — это два оранжевых числа, то количество жёлтых чисел будет равно b−a−1 b - a - 1 b−a−1.
Сумма всех жёлтых чисел между a a a и b b b можно выразить через формулу суммы арифметической прогрессии:
S=n2⋅(x1+xn), S = \frac{n}{2} \cdot (x_1 + x_n),
S=2n ⋅(x1 +xn ),
где n n n — количество членов, x1 x_1 x1 — первый член, xn x_n xn — последний член прогрессии. В нашем случае:
Первый член x1=a+1 x_1 = a + 1 x1 =a+1,Последний член xn=b−1 x_n = b - 1 xn =b−1,Количество членов n=b−a−1 n = b - a - 1 n=b−a−1.Таким образом, сумма жёлтых чисел будет равна:
Сумма жёлтых=b−a−12⋅((a+1)+(b−1))=b−a−12⋅(a+b)=b−a−12⋅107. \text{Сумма жёлтых} = \frac{b - a - 1}{2} \cdot ((a + 1) + (b - 1)) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot (a + b) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107.
Сумма жёлтых=2b−a−1 ⋅((a+1)+(b−1))=2b−a−1 ⋅(a+b)=2b−a−1 ⋅107.
По условию задачи, эта сумма равна 535:
b−a−12⋅107=535. \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107 = 535.
2b−a−1 ⋅107=535.
Умножим обе стороны уравнения на 2:
(b−a−1)⋅107=1070. (b - a - 1) \cdot 107 = 1070.
(b−a−1)⋅107=1070.
Делим обе стороны на 107:
b−a−1=10. b - a - 1 = 10.
b−a−1=10.
Отсюда следует:
b−a=11. b - a = 11.
b−a=11.
Теперь можем выразить b b b через a a a:
b=a+11. b = a + 11.
b=a+11.
Подставим b b b в уравнение для суммы оранжевых чисел:
a+(a+11)=107, a + (a + 11) = 107,
a+(a+11)=107,
что упрощается до:
2a+11=107. 2a + 11 = 107.
2a+11=107.
Вычтем 11 из обеих сторон:
2a=96, 2a = 96,
2a=96,
разделим на 2:
a=48. a = 48.
a=48.
Теперь подставим a a a обратно, чтобы найти b b b:
b=48+11=59. b = 48 + 11 = 59.
b=48+11=59.
Мы выяснили, что a=48 a = 48 a=48 и b=59 b = 59 b=59. Однако важно проверить, что это единственная пара чисел. Для этого учтем, что:
a+b=107 a + b = 107 a+b=107,b−a=11 b - a = 11 b−a=11.Тогда у нас есть система уравнений, которая даст одинаковые решения в рамках заданных ограничений.
Таким образом, оба оранжевых числа равны 48 48 48 и 59 59 59.
Значит, b b b большееоранжевоечислобольшее оранжевое числобольшееоранжевоечисло может быть равно:
59. \boxed{59}.
59 .