31.1 Итоговый тест На доске выписаны первые 200 натуральных чисел в порядке возрастания. Два из этих чисел покрасили в оранжевый цвет, а все числа между ними — в жёлтый. Оказалось, что сумма оранжевых чисел равна 107, а сумма жёлтых — 535. Чему может быть равно большее оранжевое число? Укажите все возможные варианты.

22 Дек 2024 в 19:41
94 +1
0
Ответы
1

Пусть два оранжевых числа обозначим как a a a и b b b (где ( a < b )). Тогда, согласно условию, сумма оранжевых чисел равна

a+b=107. a + b = 107.
a+b=107.

Числа, между a a a и b b b, окрашиваются в жёлтый цвет. Если a a a и b b b — это два оранжевых числа, то количество жёлтых чисел будет равно b−a−1 b - a - 1 ba1.

Сумма всех жёлтых чисел между a a a и b b b можно выразить через формулу суммы арифметической прогрессии:

S=n2⋅(x1+xn), S = \frac{n}{2} \cdot (x_1 + x_n),
S=2n (x1 +xn ),

где n n n — количество членов, x1 x_1 x1 — первый член, xn x_n xn — последний член прогрессии. В нашем случае:

Первый член x1=a+1 x_1 = a + 1 x1 =a+1,Последний член xn=b−1 x_n = b - 1 xn =b1,Количество членов n=b−a−1 n = b - a - 1 n=ba1.

Таким образом, сумма жёлтых чисел будет равна:

Сумма жёлтых=b−a−12⋅((a+1)+(b−1))=b−a−12⋅(a+b)=b−a−12⋅107. \text{Сумма жёлтых} = \frac{b - a - 1}{2} \cdot ((a + 1) + (b - 1)) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot (a + b) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107.
Сумма жёлтых=2ba1 ((a+1)+(b1))=2ba1 (a+b)=2ba1 107.

По условию задачи, эта сумма равна 535:

b−a−12⋅107=535. \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107 = 535.
2ba1 107=535.

Умножим обе стороны уравнения на 2:

(b−a−1)⋅107=1070. (b - a - 1) \cdot 107 = 1070.
(ba1)107=1070.

Делим обе стороны на 107:

b−a−1=10. b - a - 1 = 10.
ba1=10.

Отсюда следует:

b−a=11. b - a = 11.
ba=11.

Теперь можем выразить b b b через a a a:

b=a+11. b = a + 11.
b=a+11.

Подставим b b b в уравнение для суммы оранжевых чисел:

a+(a+11)=107, a + (a + 11) = 107,
a+(a+11)=107,

что упрощается до:

2a+11=107. 2a + 11 = 107.
2a+11=107.

Вычтем 11 из обеих сторон:

2a=96, 2a = 96,
2a=96,

разделим на 2:

a=48. a = 48.
a=48.

Теперь подставим a a a обратно, чтобы найти b b b:

b=48+11=59. b = 48 + 11 = 59.
b=48+11=59.

Мы выяснили, что a=48 a = 48 a=48 и b=59 b = 59 b=59. Однако важно проверить, что это единственная пара чисел. Для этого учтем, что:

a+b=107 a + b = 107 a+b=107,b−a=11 b - a = 11 ba=11.

Тогда у нас есть система уравнений, которая даст одинаковые решения в рамках заданных ограничений.

Таким образом, оба оранжевых числа равны 48 48 48 и 59 59 59.

Значит, b b b большееоранжевоечислобольшее оранжевое числобольшееоранжевоечисло может быть равно:

59. \boxed{59}.
59 .

22 Дек 2024 в 19:48
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Прямой эфир