Для поиска уравнения плоскости, проходящей через три точки A, B и C, можно воспользоваться следующим методом:

Вычислим векторы AB и AC.

Вектор ( \vec{AB} ):
[
\vec{AB} = B - A = (7 - 4; 3 + 3; 3 - 3) = (3; 6; 0)
]

Вектор ( \vec{AC} ):
[
\vec{AC} = C - A = (1 - 4; 10 + 3; 0 - 3) = (-3; 13; -3)
]

Находим векторное произведение (\vec{AB} \times \vec{AC}), чтобы получить нормальный вектор плоскости ( \vec{n} ).

Для вычисления векторного произведения:
[
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
3 & 6 & 0 \
-3 & 13 & -3
\end{vmatrix}
]

Вычисляем определитель:
[
\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 6 & 0 \ 13 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & 0 \ -3 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & 6 \ -3 & 13 \end{vmatrix}
]

Считаем каждый из миноров:

(\begin{vmatrix} 6 & 0 \ 13 & -3 \end{vmatrix} = 6 \cdot (-3) - 0 \cdot 13 = -18)(\begin{vmatrix} 3 & 0 \ -3 & -3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-3) - 0 \cdot (-3) = -9)(\begin{vmatrix} 3 & 6 \ -3 & 13 \end{vmatrix} = 3 \cdot 13 - 6 \cdot (-3) = 39 + 18 = 57)

Теперь подставим значения:
[
\vec{n} = (-18, 9, 57)
]

Уравнение плоскости имеет вид:
[
n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0,
]
где ((x_0, y_0, z_0)) — координаты одной из заданных точек (например, A).

Подставим точку A(4; -3; 3) и нормальный вектор:
[
-18(x - 4) + 9(y + 3) + 57(z - 3) = 0
]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
[
-18x + 72 + 9y + 27 + 57z - 171 = 0
]
[
-18x + 9y + 57z - 72 = 0
]
или
[
-18x + 9y + 57z = 72
]

Таким образом, окончательное уравнение плоскости ABC имеет вид:
[
-18x + 9y + 57z = 72.
]