Для нахождения значения производной функции ( y = -10x^7 + \frac{x^4}{4} + 534 ) в точке ( x_0 = -1 ) сначала найдем выражение для производной.

Найдем производную ( y' ):

[
y' = \frac{d}{dx}(-10x^7) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) + \frac{d}{dx}(534)
]

Рассчитаем каждую часть:Производная ( -10x^7 ) будет ( -70x^6 ).Производная ( \frac{x^4}{4} ) будет ( x^3 ).Производная ( 534 ) равна ( 0 ) (поскольку это константа).

Таким образом, получаем:

[
y' = -70x^6 + x^3
]

Теперь подставим ( x_0 = -1 ) в выражение для производной:

[
y'(-1) = -70(-1)^6 + (-1)^3
]

Посчитаем значения:( (-1)^6 = 1 )( (-1)^3 = -1 )

Подставим:

[
y'(-1) = -70 \cdot 1 - 1 = -70 - 1 = -71
]

Таким образом, значение производной функции в точке ( x_0 = -1 ) равно ( -71 ).