Для решения уравнения:

[
\frac{1}{2} \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + \sqrt{3} \sin^2(x - \pi) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)
]

мы начнем с упрощения уравнения:

Вспомним, что (\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}).

Тогда уравнение можно переписать как:

[
\frac{1}{2} \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) + \sqrt{3} \sin^2(x - \pi) = \sqrt{3}
]

Поскольку (\sin(x - \pi) = -\sin(x)) и (\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)), упростим уравнение:

[
\frac{1}{2} \sin(2x) - \sqrt{3} \sin^2(x) = \sqrt{3}
]

Переносим (\sqrt{3}) на левую сторону:

[
\frac{1}{2} \sin(2x) - \sqrt{3} \sin^2(x) - \sqrt{3} = 0
]

Используем идентичность (\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)), тогда:

[
\frac{1}{2} (2 \sin(x) \cos(x)) - \sqrt{3} \sin^2(x) - \sqrt{3} = 0
]

Это упростится до:

[
\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3} \sin^2(x) - \sqrt{3} = 0
]

Переписываем уравнение:

[
\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3} (\sin^2(x) + 1) = 0
]

Поиск корней этого уравнения может быть не тривиальным, поэтому используем:

[
\sin(x) \cos(x) = \sqrt{3} (\sin^2(x) + 1)
]

Это уравнение требует дальнейшего анализа, возможно при помощи подстановки или численного решения для нахождения корней.

Однако, упростим:

[
\sin(x) \cos(x) = \sqrt{3} - \sqrt{3} \sin^2(x)
]

Заканчиваем и решаем данное уравнение графически или с использованием подходящих численных методов, в зависимости от контекста задачи.

Используйте методы, которые подходят для вашей ситуации, например: графический анализ или численные методы (метод деления отрезка и др.) для нахождения корней.