Для нахождения объема тетраэдра с вершинами (A_1), (A_2), (A_3), (A_4) можно использовать формулу:
[
V = \frac{1}{6} | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |
]
где (\vec{a} = A_2 - A_1), (\vec{b} = A_3 - A_1), (\vec{c} = A_4 - A_1).

Шаг 1: Найдем векторы

Вычислим векторы (\vec{a}), (\vec{b}) и (\vec{c}).

(\vec{a} = A_2 - A_1 = (2, 3, -4) - (0, 5, 0) = (2 - 0, 3 - 5, -4 - 0) = (2, -2, -4))(\vec{b} = A_3 - A_1 = (0, 0, -6) - (0, 5, 0) = (0 - 0, 0 - 5, -6 - 0) = (0, -5, -6))(\vec{c} = A_4 - A_1 = (-3, 1, -1) - (0, 5, 0) = (-3 - 0, 1 - 5, -1 - 0) = (-3, -4, -1))Шаг 2: Найдем векторное произведение (\vec{b} \times \vec{c})

Используем формулу для векторного произведения:
[
\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
0 & -5 & -6 \
-3 & -4 & -1
\end{vmatrix}
]

Рассчитаем определитель:
[
\vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix}
-5 & -6 \
-4 & -1
\end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix}
0 & -6 \
-3 & -1
\end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix}
0 & -5 \
-3 & -4
\end{vmatrix}
]

Вычислим каждое из банкеров:

(\begin{vmatrix}
-5 & -6 \
-4 & -1
\end{vmatrix} = (-5) \cdot (-1) - (-6) \cdot (-4) = 5 - 24 = -19)(\begin{vmatrix}
0 & -6 \
-3 & -1
\end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - (-6) \cdot (-3) = 0 - 18 = -18)(\begin{vmatrix}
0 & -5 \
-3 & -4
\end{vmatrix} = 0 \cdot (-4) - (-5) \cdot (-3) = 0 - 15 = -15)

Таким образом:
[
\vec{b} \times \vec{c} = \hat{i}(-19) - \hat{j}(-18) + \hat{k}(-15) = (-19, 18, -15)
]

Шаг 3: Посчитаем скалярное произведение (\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}))

Теперь найдем:
[
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2, -2, -4) \cdot (-19, 18, -15) = 2 \cdot (-19) + (-2) \cdot 18 + (-4) \cdot (-15)
]
[
= -38 - 36 + 60 = -14
]

Шаг 4: Вычислим объем тетраэдра

Подставляя значение в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{6} | -14 | = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
]

Шаг 5: Найдем высоту тетраэдра

Высота (h) тетраэдра может быть найдена по формуле:
[
h = \frac{3V}{S}
]
где (S) — площадь основания (грани (A_1 A_2 A_3)).

Площадь основания (A_1 A_2 A_3)

Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|
]

Шаг 6: Находим площадь треугольника

Векторы (\vec{a}) и (\vec{b}):
[
\vec{a} = (2, -2, -4), \quad \vec{b} = (0, -5, -6)
]
Векторное произведение:
[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
2 & -2 & -4 \
0 & -5 & -6
\end{vmatrix}
]
Вычислим:
[
= \hat{i} \begin{vmatrix}
-2 & -4 \
-5 & -6
\end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix}
2 & -4 \
0 & -6
\end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix}
2 & -2 \
0 & -5
\end{vmatrix}
]

Каждый из определителей:

(\begin{vmatrix}
-2 & -4 \
-5 & -6
\end{vmatrix} = (-2)(-6) - (-4)(-5) = 12 - 20 = -8)(\begin{vmatrix}
2 & -4 \
0 & -6
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-6) - (-4)(0) = -12)(\begin{vmatrix}
2 & -2 \
0 & -5
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-5) - (-2)(0) = -10)

Следовательно:
[
\vec{a} \times \vec{b} = (-8, 12, -10) = (-8, 12, -10)
]

Шаг 7: Вычисляем длину этого вектора

[
|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 12^2 + (-10)^2} = \sqrt{64 + 144 + 100} = \sqrt{308}
]

Теперь найдем площадь:
[
S = \frac{1}{2} \sqrt{308}
]

Подставляем в формулу для высоты:
[
h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times \frac{7}{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{308}} = \frac{7}{\frac{1}{2} \sqrt{308}} = \frac{14}{\sqrt{308}} = \frac{14\sqrt{308}}{308}
]

Ответ:

Объем тетраэдра (V = \frac{7}{3}), высота (h = \frac{14\sqrt{308}}{308}).