Давайте найдем радиусы вписанной и описанной окружностей для равнобедренного треугольника ABC с основанием AC и высотой BD.

Треугольник ABC является равнобедренным, поэтому AB = BC. Сначала найдем длину AB. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Высота BD делит основание AC на две равные части:

[
AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4
]

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике ABD:

[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]
где AD = AE = 4, BD = 3.

Подставляем значения:

[
AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
]
[
AB = \sqrt{25} = 5
]

Находим периметр треугольника ABC [
P = AB + AC + BC = 5 + 8 + 5 = 18
]

Находим площадь треугольника ABC Площадь ( S ) треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12
]

Находим радиус вписанной окружности (r) Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{P} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}
]

Находим радиус описанной окружности (R) Радиус описанной окружности ( R ) для треугольника можно найти по формуле:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где ( a = BC = 5, b = AC = 8, c = AB = 5 ).

Сначала находим произведение сторон:
[
abc = 5 \times 8 \times 5 = 200
]

Теперь подставляем в формулу:
[
R = \frac{200}{4 \times 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}
]

Ответ: Радиус вписанной окружности ( r = \frac{2}{3} ), радиус описанной окружности ( R = \frac{25}{6} ).