Для функции ( y = f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 1} ) сначала упростим её, а затем проведем дифференцирование и исследуем её свойства.

Шаг 1: Упрощение функции

Функцию можно упростить следующим образом:

[
y = \frac{x^2 - 2x}{x + 1} = \frac{x(x - 2)}{x + 1}
]

Шаг 2: Найдем область определения

Функция определена при ( x + 1 \neq 0 ), то есть ( x \neq -1 ). Таким образом, область определения:

[
D = \mathbb{R} \setminus {-1}
]

Шаг 3: Нахождение производной

Теперь найдем производную функции ( y ) с помощью правила деления. Обозначим:

[
u = x^2 - 2x, \quad v = x + 1
]

Тогда производная ( y = \frac{u}{v} ) по правилу деления:

[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]

Находим ( u' ) и ( v' ):

[
u' = 2x - 2, \quad v' = 1
]

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

[
y' = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x)(1)}{(x + 1)^2}
]

Упрощаем числитель:

[
= \frac{(2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 + 2x)}{(x + 1)^2}
= \frac{(2x^2 - x^2 + 2x - 2)}{(x + 1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2}
]

Шаг 4: Найдем критические точки

Для нахождения критических точек решим уравнение ( y' = 0 ):

[
x^2 + 2x - 2 = 0
]

Решим это квадратное уравнение:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
]

[
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}
]

Критические точки: ( x_1 = -1 + \sqrt{3} ) и ( x_2 = -1 - \sqrt{3} ).

Шаг 5: Анализ знака производной

Определим знак производной на интервалах, которые определяются критическими точками и точкой ( x = -1 ):

( (-\infty, -1 - \sqrt{3}) )( (-1 - \sqrt{3}, -1) )( (-1, -1 + \sqrt{3}) )( (-1 + \sqrt{3}, +\infty) )Шаг 6: Определение знака ( y' )( (-\infty, -1 - \sqrt{3}) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)( (-1 - \sqrt{3}, -1) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)( (-1, -1 + \sqrt{3}) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)( (-1 + \sqrt{3}, +\infty) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)Шаг 7: Определение предельных значений

Определим поведение функции при ( x \to -\infty ) и ( x \to +\infty ):

[
y \to \frac{1}{1} = 1 \quad \text{при} \quad x \to \infty
]
[
y \to \frac{1}{1} \quad \text{при} \quad x \to -\infty
]

Шаг 8: Построение графика

Теперь, зная область определения, критические точки, интервалы возрастания и убывания, можно построить график функции. Укажите точки разрыва и поведение функции на бесконечностях.

На основе всех этих результатов график будет иметь:

Во-первых, разрыв в точке ( x = -1 ).Функция будет возрастать на ( (-\infty, -1 - \sqrt{3}) ).Убывать на ( (-1 - \sqrt{3}, -1) ) и ( (-1, -1 + \sqrt{3}) ).Возрастать на ( (-1 + \sqrt{3}, +\infty) ).

В результате график будет представлять собой два отдельных участка с разрывом в точке ( x = -1 ).