Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

[
V = \frac{1}{3} S_b h
]

где ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

Найдем площадь основания ( S_b ):
Основание пирамиды является квадратом со стороной длиной 7 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

[
S_b = a^2
]

где ( a ) — длина стороны квадрата. В нашем случае:

[
S_b = 7^2 = 49 \, \text{см}^2
]

Найдем высоту пирамиды ( h ):
Будем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты. Поскольку основание пирамиды является квадратом, от центра основания (где пересекаются диагонали) до вершины пирамиды проведем высоту ( h ). Половина длины диагонали основания будет равна:

[
r = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{2}
]

В нашем случае длина бокового ребра равна 13 см (обозначим его как ( l )). Теперь по теореме Пифагора у нас есть:

[
l^2 = h^2 + r^2
]

Подставим значения:

[
13^2 = h^2 + \left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2
]

Это упрощается до:

[
169 = h^2 + \frac{49 \cdot 2}{4} = h^2 + \frac{98}{4} = h^2 + 24.5
]

Далее решим уравнение для ( h^2 ):

[
h^2 = 169 - 24.5 = 144.5
]

Таким образом, высота:

[
h = \sqrt{144.5} \approx 12.02 \, \text{см}
]

Теперь можем найти объем пирамиды:

[
V = \frac{1}{3} \times 49 \times 12.02 \approx \frac{1}{3} \times 589.98 \approx 196.66 \, \text{см}^3
]

Итак, объем пирамиды составляет приблизительно 196.66 см³.