Чтобы найти объем шара, в который вписан куб, необходимо сначала определить радиус шара.

Куб, вписанный в шар, касается шара по всем его углам. Радиус шара равен половине диагонали куба.

Для куба со стороной ( a = 12 ) см диагональ ( d ) вычисляется по формуле:

[
d = a \sqrt{3}
]

Подставим ( a = 12 ):

[
d = 12 \sqrt{3} \text{ см}
]

Теперь радиус ( R ) шара будет равен половине диагонали:

[
R = \frac{d}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}
]

Теперь можем найти объем шара ( V ) по формуле:

[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
]

Подставим ( R = 6 \sqrt{3} ):

[
V = \frac{4}{3} \pi (6 \sqrt{3})^3
]

Теперь вычислим куб радиуса:

[
(6 \sqrt{3})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 216 \cdot 3 \sqrt{3} = 648 \sqrt{3}
]

Теперь подставим это значение в формулу для объема шара:

[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot 648 \sqrt{3}
]

Вычислим объем:

[
V = \frac{2592 \sqrt{3}}{3} \pi = 864 \sqrt{3} \pi \text{ см}^3
]

Итак, объем шара составляет ( 864 \sqrt{3} \pi ) см³.