Решим уравнение:

[
x(x^2 + 4x + 4) = 8(x + 2)
]

Сначала упростим левую часть уравнения:

[
x(x^2 + 4x + 4) = x(x + 2)^2
]

Тогда уравнение принимает вид:

[
x(x + 2)^2 = 8(x + 2)
]

Теперь, при условии, что (x + 2 \neq 0) (то есть (x \neq -2)), мы можем разделить обе стороны на (x + 2):

[
x(x + 2) = 8
]

Раскроем скобки:

[
x^2 + 2x - 8 = 0
]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где (a = 1), (b = 2), (c = -8):

[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}
]

Это дает два решения:

[
x_1 = \frac{4}{2} = 2
]
[
x_2 = \frac{-8}{2} = -4
]

Теперь проверим, не забыли ли мы о случае (x = -2). Подставим это значение в исходное уравнение:

[
-2(-2^2 + 4(-2) + 4) = 8(-2 + 2)
]
[
-2(4 - 8 + 4) = 8(0)
]
[
-2(0) = 0
]

Таким образом, (x = -2) также является решением.

Итак, окончательные решения уравнения:

[
x = -4, \quad x = -2, \quad x = 2
]