Чтобы найти косинусы углов треугольника с вершинами ( A(4, 1) ), ( B(7, 1) ) и ( C(4, 5) ), сначала нужно найти длины сторон треугольника.

Найдем длины сторон треугольника.

Длина стороны ( AB ):
[
AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3
]

Длина стороны ( BC ):
[
BC = \sqrt{(4 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]

Длина стороны ( AC ):
[
AC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4
]

Теперь у нас есть длины сторон:

( c = AB = 3 )( a = BC = 5 )( b = AC = 4 )Найдем косинусы углов треугольника с помощью теоремы косинусов.

Косинус угла ( A ):
[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 3^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16 + 9 - 25}{24} = \frac{0}{24} = 0
]

Косинус угла ( B ):
[
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}
]

Косинус угла ( C ):
[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{25 + 16 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}
]

Таким образом, косинусы углов треугольника:

( \cos A = 0 )( \cos B = \frac{3}{5} )( \cos C = \frac{4}{5} )