Чтобы точки A(0,1,0), B(3,0,1), C(2,2,-2) и D(-2,4,k) лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы векторы, образованные этими точками, были линейно зависимыми. Для этого можно использовать определитель матрицы, составленной из координат точек.

Сначала найдем два вектора на основании точек A, B и C. Векторы можно определить следующим образом:

[
\vec{AB} = B - A = (3-0, 0-1, 1-0) = (3, -1, 1)
]
[
\vec{AC} = C - A = (2-0, 2-1, -2-0) = (2, 1, -2)
]
[
\vec{AD} = D - A = (-2-0, 4-1, k-0) = (-2, 3, k)
]

Чтобы четыре точки A, B, C и D лежали в одной плоскости, определитель матрицы из этих векторов должен быть равен нулю:

[
\begin{vmatrix}
3 & -1 & 1 \
2 & 1 & -2 \
-2 & 3 & k \
\end{vmatrix}
= 0
]

Теперь вычислим этот определитель:

[
= 3 \begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & k \
\end{vmatrix}

(-1) \begin{vmatrix}
2 & -2 \
-2 & k \
\end{vmatrix}1 \begin{vmatrix}
2 & 1 \
-2 & 3 \
\end{vmatrix}
]

Вычислим каждый из этих определителей:

( \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 3 & k \end{vmatrix} = 1 \cdot k - (-2) \cdot 3 = k + 6 )

( \begin{vmatrix} 2 & -2 \ -2 & k \end{vmatrix} = 2 \cdot k - (-2) \cdot (-2) = 2k - 4 )

( \begin{vmatrix} 2 & 1 \ -2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-2) = 6 + 2 = 8 )

Подставим обратно в определитель:

[
3(k + 6) + (2k - 4) + 8 = 0
]

Раскроем скобки:

[
3k + 18 + 2k - 4 + 8 = 0
]

Объединим подобные:

[
5k + 22 = 0
]

Решим это уравнение:

[
5k = -22 \implies k = -\frac{22}{5}
]

Таким образом, значение ( k ), при котором точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, равно ( k = -\frac{22}{5} ).