Давайте решим уравнение ( |z - 3 - 4i| = 5 ), где ( z ) — комплексное число.

Запишем комплексное число:
Пусть ( z = x + yi ), где ( x ) и ( y ) — действительная и мнимая части комплексного числа соответственно.

Подставим в уравнение:
Уравнение можно записать так:
[
|(x + yi) - (3 + 4i)| = 5
]
Это упрощается до:
[
|(x - 3) + (y - 4)i| = 5
]

Выровняем модуль:
Модуль комплексного числа равен:
[
\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} = 5
]

Возведем в квадрат:
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
[
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25
]

Это уравнение окружности:
Уравнение ( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 ) описывает окружность с центром в точке ( (3, 4) ) и радиусом ( 5 ).

Нахождение точек:
Все точки ( z ), которые удовлетворяют этому уравнению, можно представить как:
[
z = x + yi
]
где ( (x, y) ) — любые точки на окружности с центром в ( (3, 4) ) и радиусом ( 5 ).

Таким образом, решения для ( z ) могут быть любыми комплексными числами, которые лежат на этой окружности. Если нужно конкретное значение, можно подставить различные значения для ( \theta ) и вычислить ( x ) и ( y ) с помощью параметрического уравнения окружности.

Пусть:
[
x = 3 + 5\cos(\theta)
]
[
y = 4 + 5\sin(\theta)
]
где ( \theta ) — это любой угол (например, ( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} ) и т.д.).

При ( \theta = 0 ):
[
z = 3 + 5 + 4i = 8 + 4i
]

При ( \theta = \frac{\pi}{2} ):
[
z = 3 + 0 + 4 + 5i = 3 + 9i
]

Таким образом, множество решений включает в себя все точки на окружности, и вы можете задать конкретные координаты, если необходимо.