Давайте обозначим количество минут, на которое Ольга увеличивает время прогулки каждый день, как ( x ). Тогда время прогулки Ольги по дням можно записать следующим образом:

1-й день: ( 10 ) минут2-й день: ( 10 + x ) минут3-й день: ( 10 + 2x ) минут...11-й день: ( 10 + 10x ) минут

Согласно условию, в одиннадцатый день прогулка длилась в пять раз больше, чем в первый день. Время прогулки в одиннадцатый день можно записать как:

[
10 + 10x = 5 \cdot 10
]

Решим это уравнение:

[
10 + 10x = 50
]

[
10x = 50 - 10
]

[
10x = 40
]

[
x = 4
]

Теперь мы знаем, что Ольга увеличивает время прогулки на ( 4 ) минуты каждый день. Теперь найдем время прогулки по дням:

1-й день: ( 10 ) минут2-й день: ( 10 + 4 = 14 ) минут3-й день: ( 10 + 2 \cdot 4 = 18 ) минут4-й день: ( 10 + 3 \cdot 4 = 22 ) минуты5-й день: ( 10 + 4 \cdot 4 = 26 ) минут6-й день: ( 10 + 5 \cdot 4 = 30 ) минут7-й день: ( 10 + 6 \cdot 4 = 34 ) минуты8-й день: ( 10 + 7 \cdot 4 = 38 ) минут9-й день: ( 10 + 8 \cdot 4 = 42 ) минуты10-й день: ( 10 + 9 \cdot 4 = 46 ) минут11-й день: ( 10 + 10 \cdot 4 = 50 ) минут

Теперь нам нужно узнать, на каком по счету дне прогулка Ольги превысила 35 минут. Из вычислений видно, что:

На 7-й день - 34 минуты (не превышает 35)На 8-й день - 38 минут (превышает 35)

Таким образом, Ольга превысила 35 минут в свои прогулки на 8-й день.