Для решения этой задачи начнем с того, что у нас есть равнобокая трапеция (ABCD) с основаниями (AD) (большее) и (BC) (меньшее), где боковые стороны (AB) и (CD) равны.

Дано:

Боковая сторона (AB = CD = 13) см.Высота трапеции (h = 12) см.Угол между проекциями боковой стороны и высоты на плоскость (a) равен (45^\circ).

Для начала нужно найти расстояние от прямой (BC) до плоскости (a).

Построение тригонометрических отношений:
Высота перпендикулярная основанию (AD) равна (12) см. Угол между высотой и боковой стороной (или её проекцией) равен (45^\circ). Знаем, что:
[
\tan(45^\circ) = 1,
]
что означает, что проекция боковой стороны на основание (или вдоль высоты) равна высоте (h).

Находим длину проекции боковой стороны:
Поскольку проекции совпадают, длина проекции боковой стороны (AB) на плоскость (AD) будет равна длине высоты:
[
x = h \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см.}
]

Расстояние от прямой (BC) до плоскости (a):
Волновая длина проекции боковой стороны ((x)) всё равно важен для определения расстояния от прямой до плоскости:
Поскольку у нас (45^\circ), высота проложена перпендикулярно к краю:
[
d = h \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см.}
]

Таким образом, расстояние от прямой (BC) до плоскости (a) равно:
[
\boxed{6\sqrt{2}} \text{ см.}
]