Геометрическая интерпретация свойства разности и дополнения.

В теории множеств, для множеств A и B в пространстве X:

Разность A\B обозначает элементы, которые принадлежат A, но не принадлежат B. Геометрически это может быть представлено как часть множества A, которая исключена в множестве B.Дополнение множества A (обозначается как A') — это все элементы, находящиеся в пространстве X, но не в A. Геометрически это часть пространства X, которая не включает элементы из A.

Вместе эти операции позволяют визуализировать, как элементы "исключаются" или "добавляются" к множествам, а также показывают границы между множествами и пространством.

Нахождение объединения и операций над множествами A и D:

( A = [0, 3) )

( D = (1, 4] )

Объединение ( A \cup D ):
[ A \cup D = [0, 3) \cup (1, 4] = [0, 4] ]
(потому что объединяем все элементы от 0 до 3, и элементы от 1 до 4, что дает полный интервал от 0 до 4)

Пересечение ( A \cap D ):
[ A \cap D = [0, 3) \cap (1, 4] = (1, 3) ]
(пересекаем границы: от 1 до 3, не включая 3)

Разность ( A \setminus D ):
[ A \setminus D = [0, 3) \setminus (1, 4] = [0, 1] \cup [3, 3) = [0, 1] ]
(за пределами D у нас остаются элементы от 0 до 1)

Разность ( D \setminus A ):
[ D \setminus A = (1, 4] \setminus [0, 3) = [3, 4] ]
(все элементы D, которые не входят в A, остаются от 3 до 4)

Нахождение всех подмножеств множества A = {1, 2, 3}:

Построим все возможные подмножества:

∅ (пустое множество){1}{2}{3}{1, 2}{1, 3}{2, 3}{1, 2, 3}

Всего 8 подмножеств.

Проверка равенства ( (B \cup C) \setminus A = (B \setminus A) \cup (C \setminus A) ):
Равенство верно. Это следствие закона распределения для множеств. Левую часть можно интерпретировать как элементы, которые находятся в объединении B и C, но не находятся в A. Правую часть можно интерпретировать как элементы, которые находятся в B или C, но не в A. Обе стороны равны.

Подсчет студентов, не сдавших ни одного экзамена. Давайте обозначим:

|P| = 30 (педагогика)|M| = 40 (математика)|F| = 42 (философия)|P ∩ M| = 10|M ∩ F| = 6|P ∩ F| = 12|P ∩ M ∩ F| = 4

Используя формулу включения-исключения, вычислим общее количество студентов, сдавших хотя бы один экзамен:

[
|P ∪ M ∪ F| = |P| + |M| + |F| - |P ∩ M| - |M ∩ F| - |P ∩ F| + |P ∩ M ∩ F|
]
[
|P ∪ M ∪ F| = 30 + 40 + 42 - 10 - 6 - 12 + 4 = 88
]

Таким образом, количество студентов, не сдавших ни одного экзамена, равно:
[
120 - |P ∪ M ∪ F| = 120 - 88 = 32
]

Ответ: 32 человека не сдали ни одного экзамена.