Давайте исследуем функцию ( f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 6} ).

1. Найдем область определения

Сначала найдем, при каких ( x ) функция определена. Функция будет неопределена, когда знаменатель равен нулю:
[
x^2 - 5x + 6 = 0
]
Решим это уравнение:
[
(x - 2)(x - 3) = 0
]
Отсюда:
[
x = 2 \quad \text{и} \quad x = 3
]
Таким образом, область определения функции:
[
D(f) = \mathbb{R} \setminus {2, 3}
]

2. Исследование на знаки

Теперь исследуем знак функции. Знаменатель ( x^2 - 5x + 6 ) имеет форму параболы, открытой вверх, и её нули — 2 и 3. Рассмотрим интервалы:

( (-\infty, 2) )( (2, 3) )( (3, +\infty) )Признак знаковДля ( x < 2 ) (например, ( x = 0 )):
[
0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 > 0 \implies f(x) > 0
]Для ( 2 < x < 3 ) (например, ( x = 2.5 )):
[
(2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 \implies f(x) < 0
]Для ( x > 3 ) (например, ( x = 4 )):
[
4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 \implies f(x) > 0
]

Таким образом, знак функции:

( f(x) > 0 ) на интервалах ( (-\infty, 2) ) и ( (3, +\infty) )( f(x) < 0 ) на интервале ( (2, 3) )3. Асимптоты

Так как функция не определена в точках ( x = 2 ) и ( x = 3 ), у нас будут вертикальные асимптоты в этих точках:

Вертикальная асимптота в ( x = 2 ).Вертикальная асимптота в ( x = 3 ).4. Поведение при стремлении к асимптотамПри ( x \to 2^- ): ( f(x) \to +\infty )При ( x \to 2^+ ): ( f(x) \to -\infty )При ( x \to 3^- ): ( f(x) \to -\infty )При ( x \to 3^+ ): ( f(x) \to +\infty )5. Построение графика

Теперь мы можем построить график функции. Важные моменты:

График функции не будет пересекаться с осью ( x ) (то есть ( f(x) \neq 0 )).График будет приближаться к вертикальным асимптотам в ( x = 2 ) и ( x = 3 ).На интервале ( (-\infty, 2) ) и ( (3, +\infty) ) график будет выше оси ( x ) (положительный), а на интервале ( (2, 3) ) — ниже оси ( x ) (отрицательный).

График имеет следующую форму:

Уходит к +∞ при ( x \to 2^{-} )Уходит к -∞ при ( x \to 2^{+} )Уходит к -∞ при ( x \to 3^{-} )Уходит к +∞ при ( x \to 3^{+} )

Можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для графиков (например, Desmos или GeoGebra), чтобы визуализировать эти результаты.