Давайте решим эту задачу, используя теорию графов. Каждый сервер можно рассматривать как вершину графа, а соединение между серверами как рёбра. Условие задачи говорит о том, что:

Каждый сервер соединён с 100 другими серверами. Это означает, что степень (количество рёбер) каждой вершины равна 100.Нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. Это означает, что в графе нет полного подграфа (клика) из 5 вершин.

Согласно теореме о ребрах графа без клики из ( K_k ) (полного графа из ( k ) вершин), для графа без клики ( K_5 ) максимальное количество рёбер ( E ) графа с ( n ) вершинами может быть оценено по формуле:

[
E \leq \frac{(k-2)n^2}{2(k-1)}
]

где ( k ) — это количество вершин в полной клике, в нашем случае ( k = 5 ).

Подставляя ( k = 5 ):

[
E \leq \frac{(5-2)n^2}{2(5-1)} = \frac{3n^2}{8}
]

Каждая вершина соединена с 100 другими, следовательно общее количество рёбер ( E ) также можно выразить как:

[
E = \frac{100n}{2} = 50n
]

Теперь мы можем установить неравенство:

[
50n \leq \frac{3n^2}{8}
]

Умножим обе стороны на 8:

[
400n \leq 3n^2
]

Переносим все на одну сторону:

[
3n^2 - 400n \geq 0
]

Факторизуем:

[
n(3n - 400) \geq 0
]

Это неравенство верно для ( n \geq \frac{400}{3} ). Поскольку ( n ) должно быть целым числом, наименьшее подходящее значение — ( n = 134 ) (так как ( \frac{400}{3} \approx 133.33 )).

Таким образом, наименьшее число серверов, для которого возможно предложенное соединение, составляет 134.