Для того чтобы решить задачу, начнем с уравнения:

[ AX = -6 ]

Поскольку мы ищем целые значения ( A ), при которых корень ( X ) будет натуральным числом, давайте выразим ( X ) из уравнения:

[ X = \frac{-6}{A} ]

Чтобы ( X ) был натуральным числом, дробь ( \frac{-6}{A} ) должна быть отрицательной и при этом делиться на ( A ) так, чтобы результат оказался положительным. Это означает, что ( A ) должно быть отрицательным делителем числа -6.

Теперь найдем все делители числа -6:

Делители числа -6: ( -1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6 ).

При этом, поскольку ( A ) должно быть отрицательным, рассмотрим только отрицательные значения:

( A = -1 )
[
X = \frac{-6}{-1} = 6 \quad (\text{натуральное число})
]

( A = -2 )
[
X = \frac{-6}{-2} = 3 \quad (\text{натуральное число})
]

( A = -3 )
[
X = \frac{-6}{-3} = 2 \quad (\text{натуральное число})
]

( A = -6 )
[
X = \frac{-6}{-6} = 1 \quad (\text{натуральное число})
]

Таким образом, все допустимые значения ( A ):

[
A \in {-1, -2, -3, -6}
]

Следовательно, целые значения ( A ), при которых корень уравнения ( AX = -6 ) является натуральным числом, это: (-1, -2, -3, -6).