Чтобы найти значение выражения ( x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} ), предположим, что это выражение сходится к некоторому числу.

Мы можем записать:

[
x = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}}
]

Попробуем выразить более сложную часть. Заметим, что мы можем записать:

[
y = \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}
]

Тогда наше выражение принимает вид:

[
x = \sqrt{1 + y}
]

Теперь остаётся выразить ( y ) через ( x ):

[
y = \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}
]

Отсюда видно, что эта цепочка продолжается. Можно предположить, что ( y \approx \sqrt{2 + y} ).

Давайте найдем ( y ):

Начнем с ( y^2 = 2 + y ).Приводим уравнение к стандартному виду: ( y^2 - y - 2 = 0 ).Решаем его с помощью дискриминанта: ( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ).Найдем корни: ( y = \frac{1 \pm 3}{2} ).

Таким образом, мы имеем:

[
y = 2 \quad \text{или} \quad y = -1
]

Оставляем только положительное значение, так как ( y ) является корнем.

Теперь подставим ( y = 2 ) обратно в уравнение для ( x ):

[
x = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}
]

Таким образом, мы находим, что:

[
\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots}}} = \sqrt{3}
]

Следовательно, значение выражения равно ( \sqrt{3} ).