Чтобы найти угол между векторами $\mathbf{a}=(1,2,-2)$ и $\mathbf{b}=(1,0,-1)$, используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$

где $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — длины этих векторов.

Посчитаем скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\cdot 1+2\cdot 0+(-2)\cdot (-1)=1+0+2=3$$

Найдем длины векторов $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

$$|\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$$\cos \theta =\frac{3}{3\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь найдём угол $\theta$:

$$\theta =\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Это значение соответствует $45^{\circ }$ или $\frac{\pi }{4}$ радиан.

Таким образом, угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равен $45^{\circ }$.