Давайте обозначим длину отрезка $C{C}_1$ как $x$.

По условию задачи, соотношение $A{C}_1:C_1{B}_1=2:1$ означает, что если мы поделим отрезок $A$ на 3 равные части, то на отрезке от $A$ до $B_1$:

первая часть будет равна $2k$ $длина(A{C}_1)$,вторая часть будет равна $k$ $длина(C_1{B}_1)$,
где $k$ — некоторая положительная величина.

Сложим длины отрезков, чтобы найти общий отрезок $A{B}_1$:
$$A{C}_1+C_1{B}_1=2k+k=3k.$$

Из условия задачи известно, что $B{B}_1=12$ дм. Так как точки $B$ и $B_1$ находятся на одной линии, то длина отрезка $A{B}_1$ равна длине отрезка $AB$ плюс длина отрезка $B{B}_1$. Таким образом:
$$A{B}_1=AB+B{B}_1.$$

Принимая во внимание, что $AB=AC+CB=A{C}_1+C_1{B}_1=3k$ и заменив $B{B}_1$ на известное значение:
$$A{B}_1=3k+12.$$

Теперь мы можем составить пропорцию, согласно данному соотношению. Поскольку $A{C}_1:C_1{B}_1=2:1$, можем иметь:
$$3k=AC+CB=A{C}_1+C_1{B}_1.$$

Мы знаем, что:
$$C_1{B}_1=k,$$ поэтому отрезок $C{C}_1$ будет равен:
$$C{C}_1=C_1{B}_1-B{B}_1=k-12.$$

Таким образом, мы можем выразить всё через $k$:

$A{C}_1=2k$,$C_1{B}_1=k$,$B{B}_1=12$.

Тогда, мы переписываем уравнение для $x$:
$$x=k.$$

Также мы знаем, что:
$$C{C}_1\cdot k=2k,$$ где $C{C}_1+B{B}_1=12$.

Итак, подставим $k=12/x$, что дает:
$$x=2\cdot \frac{12}{x},$$ откуда получаем:
$$x^2=24\to x=\sqrt{24}=\mathrm{4.89.}$$

Таким образом, длина отрезка $C{C}_1$ равна $8$ дм.