Чтобы решить систему уравнений:
1) x2+y2=4 x^2 + y^2 = 4 x2+y2=4 2) x+y=−1 x + y = -1 x+y=−1
Сначала выразим y y y из второго уравнения:
y=−1−x y = -1 - xy=−1−x
Теперь подставим это выражение для y y y в первое уравнение:
x2+(−1−x)2=4 x^2 + (-1 - x)^2 = 4x2+(−1−x)2=4
Раскроем скобки:
x2+(1+2x+x2)=4 x^2 + (1 + 2x + x^2) = 4x2+(1+2x+x2)=4
Сложим подобные члены:
2x2+2x+1=4 2x^2 + 2x + 1 = 42x2+2x+1=4
Переносим 4 влево:
2x2+2x+1−4=0 2x^2 + 2x + 1 - 4 = 02x2+2x+1−4=0
Это упрощается до:
2x2+2x−3=0 2x^2 + 2x - 3 = 02x2+2x−3=0
Теперь можно разделить все уравнение на 2:
x2+x−32=0 x^2 + x - \frac{3}{2} = 0x2+x−23 =0
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−32)=1+6=7 D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 1 + 6 = 7D=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−23 )=1+6=7
Теперь находим корни:
x1,x2=−b±D2a=−1±72 x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}x1 ,x2 =2a−b±D =2−1±7
Таким образом, у нас есть два значения для x x x:
x1=−1+72,x2=−1−72 x_1 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}x1 =2−1+7 ,x2 =2−1−7
Теперь подставим найденные значения x x x в уравнение y=−1−x y = -1 - x y=−1−x для нахождения соответствующих значений y y y:
Для x1 x_1 x1 :
y1=−1−−1+72=−1+12−72=−1+72 y_1 = -1 - \frac{-1 + \sqrt{7}}{2} = -1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{7}}{2}y1 =−1−2−1+7 =−1+21 −27 =−21+7
Для x2 x_2 x2 :
y2=−1−−1−72=−1+12+72=−1−72 y_2 = -1 - \frac{-1 - \sqrt{7}}{2} = -1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1 - \sqrt{7}}{2}y2 =−1−2−1−7 =−1+21 +27 =−21−7
Итак, у нас есть два решения системы уравнений:
1) (−1+72,−1+72) \left( \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}, -\frac{1 + \sqrt{7}}{2} \right) (2−1+7 ,−21+7 ) 2) (−1−72,−1−72) \left( \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}, -\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \right) (2−1−7 ,−21−7 )
Чтобы решить систему уравнений:
1) x2+y2=4 x^2 + y^2 = 4 x2+y2=4
2) x+y=−1 x + y = -1 x+y=−1
Сначала выразим y y y из второго уравнения:
y=−1−x y = -1 - x
y=−1−x
Теперь подставим это выражение для y y y в первое уравнение:
x2+(−1−x)2=4 x^2 + (-1 - x)^2 = 4
x2+(−1−x)2=4
Раскроем скобки:
x2+(1+2x+x2)=4 x^2 + (1 + 2x + x^2) = 4
x2+(1+2x+x2)=4
Сложим подобные члены:
2x2+2x+1=4 2x^2 + 2x + 1 = 4
2x2+2x+1=4
Переносим 4 влево:
2x2+2x+1−4=0 2x^2 + 2x + 1 - 4 = 0
2x2+2x+1−4=0
Это упрощается до:
2x2+2x−3=0 2x^2 + 2x - 3 = 0
2x2+2x−3=0
Теперь можно разделить все уравнение на 2:
x2+x−32=0 x^2 + x - \frac{3}{2} = 0
x2+x−23 =0
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−32)=1+6=7 D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 1 + 6 = 7
D=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−23 )=1+6=7
Теперь находим корни:
x1,x2=−b±D2a=−1±72 x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}
x1 ,x2 =2a−b±D =2−1±7
Таким образом, у нас есть два значения для x x x:
x1=−1+72,x2=−1−72 x_1 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}
x1 =2−1+7 ,x2 =2−1−7
Теперь подставим найденные значения x x x в уравнение y=−1−x y = -1 - x y=−1−x для нахождения соответствующих значений y y y:
Для x1 x_1 x1 :
y1=−1−−1+72=−1+12−72=−1+72 y_1 = -1 - \frac{-1 + \sqrt{7}}{2} = -1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{7}}{2}
y1 =−1−2−1+7 =−1+21 −27 =−21+7
Для x2 x_2 x2 :
y2=−1−−1−72=−1+12+72=−1−72 y_2 = -1 - \frac{-1 - \sqrt{7}}{2} = -1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1 - \sqrt{7}}{2}
y2 =−1−2−1−7 =−1+21 +27 =−21−7
Итак, у нас есть два решения системы уравнений:
1) (−1+72,−1+72) \left( \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}, -\frac{1 + \sqrt{7}}{2} \right) (2−1+7 ,−21+7 )
2) (−1−72,−1−72) \left( \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}, -\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \right) (2−1−7 ,−21−7 )