Для нахождения угла между прямой и плоскостью в кубе, нужно сначала определить необходимые элементы.

1. Определение элементов:

В кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ):

( A (0, 0, 0) )( B (a, 0, 0) )( C (a, a, 0) )( D (0, a, 0) )( A_1 (0, 0, a) )( B_1 (a, 0, a) )( C_1 (a, a, a) )( D_1 (0, a, a) )2. Прямая ( B_1C ):

Координаты точек:

( B_1 (a, 0, a) )( C (a, a, 0) )

Вектор направления прямой ( B_1C ):
[
\overrightarrow{B_1C} = C - B_1 = (a, a, 0) - (a, 0, a) = (0, a, -a)
]

3. Плоскость ( BVD ):

Координаты точек:

( B (a, 0, 0) )( V (0, 0, 0) ) (точка A)( D (0, a, 0) )

Векторы, лежащие в плоскости:
[
\overrightarrow{BV} = V - B = (0, 0, 0) - (a, 0, 0) = (-a, 0, 0)
]
[
\overrightarrow{BD} = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)
]

4. Нахождение нормали к плоскости ( BVD ):

Векторное произведение ( \overrightarrow{BV} ) и ( \overrightarrow{BD} ):
[
\vec{n} = \overrightarrow{BV} \times \overrightarrow{BD} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-a & 0 & 0 \
-a & a & 0
\end{vmatrix}
= (0, 0, -a^2)
]
Нормальный вектор к плоскости: ( (0, 0, -a^2) ), то есть ( \vec{n} = (0, 0, 1) ).

5. Нахождение угла между вектором ( \overrightarrow{B_1C} ) и нормалью ( \vec{n} ):

Для нахождения угла между вектором и плоскостью нужно воспользоваться формулой:
[
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{B_1C} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B_1C}| |\vec{n}|}
]

Найдем скалярное произведение:
[
\overrightarrow{B_1C} \cdot \vec{n} = (0, a, -a) \cdot (0, 0, -a) = a^2
]

Модули векторов:
[
|\overrightarrow{B_1C}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
]
[
|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-a^2)^2} = a^2
]

Подставим в формулу:
[
\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a^2)} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Это значит, что:
[
\theta = 45^\circ
]

Ответ:

Угол между прямой ( B_1C ) и плоскостью ( BVD ) равен ( 45^\circ ).

Рисунок

На рисунке необходимо изобразить куб, прямую ( B_1C ) и плоскость, проходящую через точки ( B ), ( V (A) ), и ( D ).

На этом рисунке можно обозначить прямую ( B_1C ) и плоскость ( BVD ), чтобы лучше визуализировать угол ( 45^\circ ).