Для доказательства того, что отрезок ( AD ) перпендикулярен отрезку ( YZ ), рассмотрим следующие факты и построим необходимые дополнительные элементы.

Пусть ( I ) — центр вписанной окружности треугольника ( ABC ). Угол ( A ) можно обозначить как ( \angle A ), угол ( B ) — как ( \angle B ), угол ( C ) — как ( \angle C ).

Точка ( D ) — проекция центра вписанной окружности ( I ) на сторону ( BC ). Таким образом, ( ID \perp BC ).

Точка ( Y ) — это точка пересечения отрезка ( BI ) с перпендикуляром к отрезку ( AB ), проходящим через точку ( A ).

Точка ( Z ) — это точка пересечения отрезка ( CI ) с перпендикуляром к отрезку ( AC ), проходящим через точку ( A ).

Сначала нужно понять, что поскольку ( Y ) и ( Z ) располагаются на перпендикулярах к сторонам треугольника, то углы ( \angle AYB ) и ( \angle AZC ) по определению равны ( 90^\circ ).

Треугольник ( AIZ ) и треугольник ( AIY ) являются остроугольными, а так как ( I ) — инцентр, у нас есть следующее свойство:
[
\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2} \quad \text{и} \quad \angle AIC = 90^\circ + \frac{B}{2}
]

Посмотрим на треугольник ( AYD ) и треугольник ( AZD ):

Угол ( \angle AID = 90^\circ ) (из-за перпендикуляра ( ID )).Угол ( \angle IAY = 90^\circ - \frac{C}{2} ).Угол ( \angle IAZ = 90^\circ - \frac{B}{2} ).

Суммируя эти углы и применяя свойства углов, заключая, что должно выполниться:
[
\angle AYD + \angle AZD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
]

Это означает, что линии ( AD ) и ( YZ ) образуют углы, которые составляют ( 90^\circ ) между собой, что подтверждает условие перпендикулярности.

Итак, ( AD \perp YZ ), и мы завершили доказательство.