Давайте разберем уравнение ( \sin x = -\frac{3}{2\sqrt{3}} ) и условия ( \tan x > 0 ).

Определим диапазон значений синуса: Сперва заметим, что значение ( -\frac{3}{2\sqrt{3}} ) приблизительно равно ( -0.866 ), что находится в пределах значений синуса, так как ( \sin x ) колеблется в интервале от (-1) до (1).

Найдем арксинус: Уравнение ( \sin x = -\frac{3}{2\sqrt{3}} ) имеет два решения в пределах от ( 0 ) до ( 2\pi ):

Первое решение будет в 4-й четверти, где синус отрицательный.Второе решение будет в 3-й четверти, тоже с отрицательным синусом.

Однако, для нахождения точных значений необходимо взять ( \arcsin):
[
x = \arcsin\left(-\frac{3}{2\sqrt{3}}\right)
]

Записывая основное решение:

( x_1 ) в 4-й четверти (уложим его в диапазон ( 0 ) до ( 2\pi )): ( x_1 = 2\pi - \arcsin\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right) )( x_2 ) в 3-й четверти (также можно записать через ( \pi )): ( x_2 = \pi + \arcsin\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right) )

Теперь рассмотрим условие ( \tan x > 0 ): Тангенс положителен в первой и третьей четвертях. Однако, синус у нас отрицателен (орадным образом), таким образом, нам нужны только решения из 4-й четверти и 3-й четверти, но только те, где тангенс положителен.

У нас есть:

В 4-й четверти (где тангенс отрицательный): ( x = x_1 ).В 3-й четверти тангенс тоже отрицательный: ( x = x_2 ).

Следовательно, изначально вы правы, указав на область четвёртой и третьей четвертей. Однако искомое условие ( \tan x > 0 ) не удовлетворяется. Уравнение не имеет решений при условии ( \tan x > 0 ).

Таким образом, : "при каком условии" не существует – решение отсутствует, поскольку у тангенса нет положительных значений для заданного синуса.