Чтобы определить, в какой четверти окажется точка, начнем с исходного положения точки на единичной окружности. Точка находится на угле (\frac{\pi}{6}) радиан (или 30 градусов), что соответствует первой четверти.

Скорость точки равна ( \frac{4\pi}{3} ) рад/с. Теперь рассчитаем угол, на который точка переместится за определенное время, используя формулу:

[
\Delta \theta = \omega \cdot t
]

где ( \omega ) — угловая скорость, ( t ) — время.

Теперь давайте найдем, в какой четверти будет находиться точка через разные интервалы времени:

1) Через 2 секунды:

[
\Delta \theta = \frac{4\pi}{3} \cdot 2 = \frac{8\pi}{3}
]

Теперь найдем полный оборот (поскольку ( 2\pi ) радиан соответствуют полному кругу):

[
\frac{8\pi}{3} \div 2\pi = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \quad \text{(полных оборотов)}
]

Для нахождения угла после 2 секунд, вычтем количество полных оборотов:

[
\frac{8\pi}{3} - 2\cdot2\pi = \frac{8\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}
]

Теперь добавим ( 2\pi ) для получения положительного угла:

[
-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
]

Угол (\frac{2\pi}{3}) находится во второй четверти.

2) Через 3 секунды:

[
\Delta \theta = \frac{4\pi}{3} \cdot 3 = 4\pi
]

Для определения положения на окружности:

[
4\pi \div 2\pi = 2 \quad \text{(полных оборотов)}
]

Так как это ровно два полных оборота, положение точки совпадает с исходным углом (\frac{\pi}{6}), который в первой четверти.

3) Через 4 секунды:

[
\Delta \theta = \frac{4\pi}{3} \cdot 4 = \frac{16\pi}{3}
]

Находим количество полных оборотов:

[
\frac{16\pi}{3} \div 2\pi = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \quad \text{(полных оборотов)}
]

Вычтем два полных оборота:

[
\frac{16\pi}{3} - 2\cdot2\pi = \frac{16\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}
]

Угол (\frac{4\pi}{3}) находится в третьей четверти.

4) Через 10 секунд:

[
\Delta \theta = \frac{4\pi}{3} \cdot 10 = \frac{40\pi}{3}
]

Находим количество полных оборотов:

[
\frac{40\pi}{3} \div 2\pi = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \quad \text{(полных оборотов)}
]

Вычтем 10 (из 20/3):

[
\frac{40\pi}{3} - 10\cdot2\pi = \frac{40\pi}{3} - \frac{60\pi}{3} = -\frac{20\pi}{3}
]

Прибавим ( 2\pi ):

[
-\frac{20\pi}{3} + 2\cdot 2\pi = -\frac{20\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}
]

Прибавим еще один круг:

[
-\frac{8\pi}{3} + 2\cdot 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{24\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}
]

Теперь находим четное количество оборотов:

[
\frac{16\pi}{3} - 2\cdot2\pi = \frac{16\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}
]

Итак, (\frac{4\pi}{3}) находится в третьей четверти.

Подытожим:

Через 2 с — вторая четверть.Через 3 с — первая четверть.Через 4 с — третья четверть.Через 10 с — третья четверть.