Чтобы найти размеры ящика с крышкой минимальной площади поверхности при заданном объеме и соотношении сторон основания, сначала обозначим размеры основания. Пусть ширина основания равна ( x ), а длина — ( 3x ). Высота ящика обозначим за ( h ).

Объем ( V ) ящика можно записать как:
[
V = x \cdot 3x \cdot h = 3x^2 h
]
По условию задачи объем равен ( 36 \, \text{см}^3 ):
[
3x^2 h = 36
]
Отсюда можно выразить высоту ( h ):
[
h = \frac{36}{3x^2} = \frac{12}{x^2}
]

Теперь найдем полную площадь поверхности ( S ) ящика с крышкой. Площадь поверхности включает площадь основания, площадь верхней крышки и площадь боковых стенок. Формула для площади поверхности ящика:
[
S = S{\text{основания}} + S{\text{крышки}} + S{\text{боковая}}
]
где
[
S{\text{основания}} = x \cdot 3x = 3x^2,
]
[
S{\text{крышки}} = S{\text{основания}} = 3x^2,
]
[
S_{\text{боковая}} = 2(3x \cdot h + x \cdot h) = 2(3xh + xh) = 8xh.
]
Итак, полная площадь поверхности:
[
S = 3x^2 + 3x^2 + 8xh = 6x^2 + 8xh.
]

Подставляем найденное значение для ( h ):
[
S = 6x^2 + 8x \cdot \frac{12}{x^2} = 6x^2 + \frac{96}{x}.
]

Для нахождения минимума площади ( S ) найдем производную и приравняем её к нулю:
[
\frac{dS}{dx} = 12x - \frac{96}{x^2}.
]
Приравняем производную к нулю:
[
12x - \frac{96}{x^2} = 0.
]
Переносим оба члена:
[
12x = \frac{96}{x^2}.
]
Умножим обе стороны на ( x^2 ) (при ( x > 0 )):
[
12x^3 = 96 \implies x^3 = 8 \implies x = 2.
]

Теперь подставим значение ( x ) для нахождения ( h ):
[
h = \frac{12}{x^2} = \frac{12}{2^2} = \frac{12}{4} = 3.
]

Теперь можем найти размеры ящика:

Ширина ( x = 2 \, \text{см} ),Длина ( 3x = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см} ),Высота ( h = 3 \, \text{см} ).

Итак, размеры ящика: ( 2 \, \text{см} ) (ширина), ( 6 \, \text{см} ) (длина) и ( 3 \, \text{см} ) (высота).