Для нахождения наименьшего значения функции ( y = 14 \tan x - 28x + 7\pi - 2 ) на отрезке ( x \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] ), следует выполнить следующие шаги:

Найти производную функции:
[
y' = 14 \sec^2 x - 28
]

Найти критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ):
[
14 \sec^2 x - 28 = 0
]
[
\sec^2 x = 2 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Это даёт ( x = -\frac{\pi}{4} ) и ( x = \frac{\pi}{4} ). Однако, проверим, попадают ли они в наш отрезок:
(-\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] ), ( \frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] ).

Проверить значения функции на концах отрезка и в критических точках:

Проверим значение в ( x = -\frac{\pi}{3} ):
[
y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 14 \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 28\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 7\pi - 2
]
[
= 14 \cdot (-\sqrt{3}) + \frac{28\pi}{3} + 7\pi - 2 = -14\sqrt{3} + \frac{28\pi}{3} + \frac{21\pi}{3} - 2 = -14\sqrt{3} + \frac{49\pi}{3} - 2
]

Затем ( x = \frac{\pi}{3} ):
[
y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 14 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) - 28\left(\frac{\pi}{3}\right) + 7\pi - 2
]
[
= 14 \cdot \sqrt{3} - \frac{28\pi}{3} + 7\pi - 2 = 14\sqrt{3} - \frac{28\pi}{3} + \frac{21\pi}{3} - 2 = 14\sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} - 2
]

И, наконец, в критических точках ( x = -\frac{\pi}{4} ) и ( x = \frac{\pi}{4} ):
Для ( x = -\frac{\pi}{4} ):
[
y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 14 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 28\left(\frac{\pi}{4}\right) + 7\pi - 2 = -14 + 7\pi - 2 = 7\pi - 16
]

Для ( x = \frac{\pi}{4} ):
[
y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 14 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 28\left(\frac{\pi}{4}\right) + 7\pi - 2 = 14 - 7\pi - 2 = 12 - 7\pi
]

Сравнить все полученные значения:

( y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -14\sqrt{3} + \frac{49\pi}{3} - 2 )( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 14\sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} - 2 )( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 7\pi - 16 )( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 12 - 7\pi )

Определить наименьшее значение:
Таким образом, необходимо подставить значения (\pi) и (\sqrt{3}) и сравнить все этим значения, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке.

После подстановки и вычислений вы получите конкретные значения, и сможете определить наименьшее из них.