Для сравнения значения приращения функции и ее дифференциала в точке ( x_0 = 1 ), сначала найдем значение функции и её производной в этой точке.

Находим значение функции ( y ) в точке ( x_0 = 1 ):

[
y(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 8(1) - 1 = 2 - 5 + 8 - 1 = 4
]

Находим производную ( y' ) функции:

[
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + 8x - 1) = 6x^2 - 10x + 8
]

Теперь подставим ( x = 1 ) в производную, чтобы найти значение дифференциала в этой точке:

[
y'(1) = 6(1)^2 - 10(1) + 8 = 6 - 10 + 8 = 4
]

Теперь найдём значение приращения функции для ( \Delta x ). Предположим, что ( \Delta x ) - небольшое приращение, например, ( \Delta x = 0.1 ). Тогда:

[
\Delta y = y(1 + \Delta x) - y(1)
]
Сначала вычисляем ( y(1 + 0.1) ):

[
y(1.1) = 2(1.1)^3 - 5(1.1)^2 + 8(1.1) - 1
]
Вычислим каждое слагаемое:

( (1.1)^3 = 1.331 ) ⇒ ( 2(1.1)^3 = 2 \times 1.331 = 2.662 )( (1.1)^2 = 1.21 ) ⇒ ( -5(1.1)^2 = -5 \times 1.21 = -6.05 )( 8(1.1) = 8.8 )

Теперь складываем:

[
y(1.1) = 2.662 - 6.05 + 8.8 - 1 = 4.412
]

Теперь подставим в формулу для приращения:

[
\Delta y = y(1.1) - y(1) = 4.412 - 4 = 0.412
]

Находим значение дифференциала:

Дифференциал в точке ( x_0 = 1 ) при ( \Delta x = 0.1 ):

[
\Delta y_{\text{дифф}} = y'(1) \cdot \Delta x = 4 \cdot 0.1 = 0.4
]

Сравнение значения приращения функции и её дифференциала:Значение приращения функции ( \Delta y = 0.412 )Значение дифференциала ( \Delta y_{\text{дифф}} = 0.4 )

Таким образом, приращение функции в точке ( x_0 = 1 ) составляет 0.412, а значение ее дифференциала — 0.4. Мы видим, что значение приращения функции больше, чем значение её дифференциала.