Для нахождения площади прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, можно воспользоваться формулой:

[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,
]

где (a) и (b) — это длины катетов треугольника.

В данном треугольнике:

(AC) — гипотенуза, равная (d = 50 \, \text{cm}),(BC) — один катет, равный (14 \, \text{cm}),(AB) — второй катет, равный (48 \, \text{cm}).

Убедимся, что эти длины соответствуют свойствам прямоугольного треугольника. Треугольник является прямоугольным, если выполняется теорема Пифагора:

[
AC^2 = AB^2 + BC^2.
]

Вычислим (AC^2) и сравним с (AB^2 + BC^2):

[
AC^2 = 50^2 = 2500,
]
[
AB^2 = 48^2 = 2304,
]
[
BC^2 = 14^2 = 196,
]
[
AB^2 + BC^2 = 2304 + 196 = 2500.
]

Это равенство выполняется, что подтверждает, что треугольник действительно прямоугольный.

Теперь можно найти площадь треугольника:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14.
]

Вычислим:

[
S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336 \, \text{cm}^2.
]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна (336 \, \text{cm}^2).