Для того чтобы выяснить, при каких натуральных ( n ) выполняется неравенство ( 3^n > n^3 ), давайте проанализируем это неравенство.

Шаг 1: Исследуем начальные значения

Для начала подставим небольшие натуральные значения ( n ):

( n = 1 ):
[
3^1 = 3 \quad \text{и} \quad 1^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad 3 > 1 \quad \text{(истина)}
]

( n = 2 ):
[
3^2 = 9 \quad \text{и} \quad 2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad 9 > 8 \quad \text{(истина)}
]

( n = 3 ):
[
3^3 = 27 \quad \text{и} \quad 3^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad 27 = 27 \quad \text{(ложь)}
]

( n = 4 ):
[
3^4 = 81 \quad \text{и} \quad 4^3 = 64 \quad \Rightarrow \quad 81 > 64 \quad \text{(истина)}
]

( n = 5 ):
[
3^5 = 243 \quad \text{и} \quad 5^3 = 125 \quad \Rightarrow \quad 243 > 125 \quad \text{(истина)}
]

( n = 6 ):
[
3^6 = 729 \quad \text{и} \quad 6^3 = 216 \quad \Rightarrow \quad 729 > 216 \quad \text{(истина)}
]

Шаг 2: Понять поведение функций

Теперь мы видим, что для первых значений ( n = 1, 2, 4, 5, 6 ) неравенство верно, а для ( n = 3 ) оно ложное. Чтобы понять, как ведут себя обе функции при больших значениях ( n ), давайте рассмотрим их асимптотику.

Функция ( 3^n ) — это экспоненциальная функция, а функция ( n^3 ) — полиномиальная. Можно утверждать, что экспоненциальная функция будет расти быстрее любой полиномиальной при достаточно больших ( n ).

Шаг 3: Доказательство неравенства

Для более точного анализа мы можем воспользоваться методом анализа разности функций:

Рассмотрим функцию:
[
f(n) = 3^n - n^3
]

Теперь посчитаем, при каких ( n ) ( f(n) > 0 ).

Для ( n = 3 ), ( f(3) = 0 ).Для ( n \geq 4 ), мы проверили, что ( f(n) > 0 ).

Для большого ( n ), ( 3^n ) сильно превышает ( n^3 ).

Шаг 4: Обобщение вывода

Теперь мы можем заключить, что:

( f(1) > 0 )( f(2) > 0 )( f(3) = 0 )( f(n) > 0 ) для ( n \geq 4 )

Следовательно, неравенство ( 3^n > n^3 ) выполняется для всех натуральных ( n ), кроме ( n = 3 ).

Ответ

Неравенство ( 3^n > n^3 ) выполнено для ( n = 1, 2, 4, 5, 6 ) и всех ( n \geq 4 ), т.е. для всех натуральных ( n ) кроме ( n = 3 ).