Для решения задачи о замощении квадрата со стороной в 7 клеток трёхклеточными уголками и пятиклеточными плюсиками сначала нужно определить суммарное количество клеток:

Квадрат имеет размеры 7х7, следовательно, количество клеток в квадрате равно (7 \times 7 = 49) клеток.

Для замощения можно использовать два типа фигур:

Трёхклеточные уголки (в виде L).Пятиклеточные плюсики.

Пусть (x) — количество используемых плюсиков. Каждый плюсик занимает 5 клеток, а каждый уголок занимает 3 клетки. Мы можем записать уравнение для общего числа клеток:

[
5x + 3y = 49
]

где (y) — количество уголков. Из этого уравнения можно выразить (y):

[
y = \frac{49 - 5x}{3}
]

Чтобы (y) было неотрицательным целым числом, (49 - 5x) должно быть неотрицательным и делиться на 3:

Неотрицательность:
[
49 - 5x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 9.8 \Longrightarrow x \leq 9
]

Делимость на 3:
[
49 - 5x \equiv 0 \pmod{3}
]
Рассмотрим (49 \mod 3):

[
49 \equiv 1 \pmod{3}
]
Следовательно,
[
-5x \equiv -1 \pmod{3} \Longrightarrow 5x \equiv 1 \pmod{3}
]
(5 \equiv 2 \pmod{3}), поэтому:

[
2x \equiv 1 \pmod{3}
]

Умножим обе стороны на (2^{-1}) (обратный элемент к 2 по модулю 3, который равен 2):

[
x \equiv 2 \pmod{3}
]

Возможные значения (x) (при (x \leq 9)): 2, 5, 8.

Теперь найдем минимальное и максимальное количество плюсиков.

Минимальное количество плюсиков:

Для минимального количества плюсиков возьмём (x = 2):

[
y = \frac{49 - 5 \cdot 2}{3} = \frac{39}{3} = 13
]

Максимальное количество плюсиков:

Для максимального количества плюсиков возьмём (x = 8):

[
y = \frac{49 - 5 \cdot 8}{3} = \frac{49 - 40}{3} = \frac{9}{3} = 3
]

Таким образом, наименьшее количество плюсиков: 2 (требуется 13 уголков).

Наибольшее количество плюсиков: 8 (требуется 3 уголка).