Решим каждую из указанных систем линейных уравнений с использованием трех различных методов: методом сложения, методом подстановки и графическим методом.

Задание 1:

Система уравнений:
1) ( x - 3y = 5 )
2) ( 4x + 9y = 41 )

Метод сложения.

Первое уравнение можно выразить через ( x ):
[
x = 3y + 5
]

Подставим это значение ( x ) во второе уравнение:
[
4(3y + 5) + 9y = 41
]
Раскроем скобки:
[
12y + 20 + 9y = 41
]
Объединим подобные:
[
21y + 20 = 41
]
Вычтем 20 с обеих сторон:
[
21y = 21
]
Разделим на 21:
[
y = 1
]

Теперь найдем ( x ):
[
x = 3(1) + 5 = 8
]

Ответ: ( x = 8, y = 1 )

Метод подстановки.

Мы уже выразили ( x ) через ( y ) из первого уравнения. Подстановка была сделана во втором уравнении:
[
4x + 9y = 41 \implies 4(3y + 5) + 9y = 41
]
Решаем соответственно, как и в методе сложения.

Графический метод.

Построим графики обоих уравнений:

( y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} )( y = \frac{41 - 4x}{9} )

Пересечение графиков в точке ( (8, 1) ).

Задание 2:

Система уравнений:
1) ( 10x + 2y = 12 )
2) ( -5x + 4y = -6 )

Метод сложения.

Первое уравнение можно выразить как:
[
2y = 12 - 10x \implies y = 6 - 5x
]

Подставляем во второе уравнение:
[
-5x + 4(6 - 5x) = -6
]
Раскроем скобки:
[
-5x + 24 - 20x = -6
]
Объединим подобные:
[
-25x + 24 = -6
]
Вычтем 24 с обеих сторон:
[
-25x = -30 \implies x = \frac{6}{5}
]

Теперь найдем ( y ):
[
y = 6 - 5(\frac{6}{5}) = 0
]

Ответ: ( x = \frac{6}{5}, y = 0 )

Метод подстановки.

Также выразили ( y = 6 - 5x ) и подставили его во второе уравнение, что привело к тем же вычислениям.

Графический метод.

( y = 6 - 5x )( y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} )

Пересечение графиков в точке ( \left(\frac{6}{5}, 0\right) ).

Задание 3:

Система уравнений:
1) ( 3x - 2y = 1 )
2) ( 12x + 7y = -26 )

Метод сложения.

Из первого уравнения выразим ( y ):
[
2y = 3x - 1 \implies y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
]

Подставим во второе уравнение:
[
12x + 7\left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\right) = -26
]
Раскроем скобки:
[
12x + \frac{21}{2}x - \frac{7}{2} = -26
]
Умножим все на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
[
24x + 21x - 7 = -52
]
Объединим:
[
45x - 7 = -52
]
Вычтем 7 с обеих сторон:
[
45x = -45 \implies x = -1
]

Теперь найдем ( y ):
[
y = \frac{3}{2}(-1) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2
]

Ответ: ( x = -1, y = -2 )

Метод подстановки.

Подстановка выражения для ( y ) во второе уравнение приведет к тем же вычислениям.

Графический метод.

( y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} )( y = -\frac{12}{7}x - \frac{26}{7} )

Пересечение графиков в точке ( (-1, -2) ).

Таким образом, все три системы решены.