Давайте решим каждую из частей вашей задачи по порядку.

a) Найти длину вектора ( \mathbf{BC} )

Координаты точек:

( B(-8, -5) )( C(5, 0) )

Длина вектора ( \mathbf{BC} ) рассчитывается по формуле:
[
| \mathbf{BC} | = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}
]
Подставляем координаты:
[
| \mathbf{BC} | = \sqrt{(5 - (-8))^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(5 + 8)^2 + (0 + 5)^2} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169 + 25} = \sqrt{194} \approx 13.93
]

b) Найти координаты середины отрезка ( AB )

Координаты середины отрезка находятся по формуле:
[
M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)
]
Координаты точек:

( A(4, -15) )( B(-8, -5) )

Подставляем значения:
[
M = \left( \frac{4 + (-8)}{2}, \frac{-15 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}, \frac{-20}{2} \right) = (-2, -10)
]

c) Периметр треугольника ( ABC )

Сначала находим длины сторон треугольника:

Сторона ( AB ):
[
| \mathbf{AB} | = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-8 - 4)^2 + (-5 - (-15))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (10)^2} = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244} \approx 15.62
]Сторона ( AC ):
[
| \mathbf{AC} | = \sqrt{(5 - 4)^2 + (0 - (-15))^2} = \sqrt{(1)^2 + (15)^2} = \sqrt{1 + 225} = \sqrt{226} \approx 15.03
]Сторона ( BC ) уже найдена, ( | \mathbf{BC} | \approx 13.93 )

Теперь находим периметр:
[
P = | \mathbf{AB} | + | \mathbf{AC} | + | \mathbf{BC} | = \sqrt{244} + \sqrt{226} + \sqrt{194} \approx 15.62 + 15.03 + 13.93 \approx 44.58
]

d) Длина медианы ( CM )

Сначала найдем координаты середины ( AB ) - мы уже нашли их, это ( M(-2, -10) ).

Теперь находим длину медианы ( CM ):
[
| \mathbf{CM} | = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-10 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-10)^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149} \approx 12.21
]

e) Координаты вектора ( AC )

Координаты вектора ( \mathbf{AC} ) вычисляются как разность координат точки ( C ) и точки ( A ):
[
\mathbf{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (5 - 4, 0 - (-15)) = (1, 15)
]

Итоги:

a) Длина вектора ( BC ) ( \approx 13.93 )

b) Координаты середины отрезка ( AB ) ( (-2, -10) )

c) Периметр треугольника ( ABC ) ( \approx 44.58 )

d) Длина медианы ( CM ) ( \approx 12.21 )

e) Координаты вектора ( AC ) ( (1, 15) )