Треугольник Паскаля — это структура, в которой каждая ячейка с числами представляет собой комбинации из двух элементов. Если выровнять его по левому краю, то каждая диагональ, направленная вверх, соответствует определённым комбинациям, сумма которых приводит к числам Фибоначчи.

Чтобы понять, почему сумма чисел по восходящим диагоналям равна числам Фибоначчи, рассмотрим следующие свойства:

Определение чисел Фибоначчи: Последовательность чисел Фибоначчи начинается с 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих:
[
F(0) = 0, \quad F(1) = 1, \quad F(n) = F(n-1) + F(n-2) \text{ для } n \geq 2.
]

Анализ реагирования диагоналей: Выровняв треугольник Паскаля по левому краю, мы можем взглянуть на его восходящие диагонали:

Первая диагональ (1): ( 1 ) (соответствует ( F(1) ))Вторая диагональ (2): ( 1, 1 ) (сумма ( 1 + 1 = 2 ),это ( F(3) ))Третья диагональ (3): ( 1, 2 ) (сумма ( 1 + 2 = 3 ), это ( F(4) ))Четвёртая диагональ (4): ( 1, 3 ) (сумма ( 1 + 3 = 4 ), это ( F(5) ))Пятая диагональ (5): ( 1, 4 ) (сумма ( 1 + 4 = 5 ), это ( F(6) ))

Общая идея: Каждое число в треугольнике Паскаля можно рассматривать как количество способов выбрать элементы. Сумма по диагоналям отражает количество способов выделить элементы, которые приводят к соответствующим числам Фибоначчи.

В результате, сумма чисел по диагоналям треугольника Паскаля формирует последовательность, где каждое число получается из суммы двух предыдущих, подобно числам Фибоначчи. Таким образом, эта связь показывает, как комбинаторика и числа Фибоначчи переплетаются в структуре треугольника Паскаля.