Для того чтобы доказать, что ( a ) является целым числом, воспользуемся предположением, что ( a ) — это некоторый дробный или иррациональный число.

Мы знаем, что ( a^2 - 1 ) и ( a^4 - 1 ) — целые числа:

Запишем ( a^2 - 1 = k ), где ( k ) — целое число. Отсюда получим, что ( a^2 = k + 1 ).Теперь подставим ( a^2 ) в выражение для ( a^4 - 1 ):
[
a^4 - 1 = (a^2)^2 - 1 = (k + 1)^2 - 1 = k^2 + 2k + 1 - 1 = k^2 + 2k
]
Мы знаем, что ( a^4 - 1 = k^2 + 2k ) также должно быть целым числом.

Таким образом, ( k^2 + 2k ) тоже целое. Мы пришли к выводу, что ( a^2 ) выражается как ( k + 1 ).

Теперь рассмотрим, как ( a^2 ) может быть целым. Если ( a = \frac{m}{n} ) (где ( m ) и ( n ) — целые числа, ( n \neq 0 )), то:
[
a^2 = \frac{m^2}{n^2}
]
Подставив в уравнение, мы получим:
[
a^2 - 1 = \frac{m^2}{n^2} - 1 = \frac{m^2 - n^2}{n^2}
]
Это число целое, если ( m^2 - n^2 ) делится на ( n^2 ). Это означает, что ( m^2 - n^2 ) должно быть кратно ( n^2 ). Но тогда ( m^2 = n^2 + kn^2 ) для некоторого целого ( k ), что может повлечь потенциальные деления, если ( n > 1 ).

Теперь посмотрим на ( a^2 ) разложенное как ( a^2 = k + 1 ). Получается, что ( k + 1 ) должно быть целым, а значит ( n^2 ) должно делиться на ( m^2 ).

Если же ( n = 1 ), тогда ( a = m ), и мы имеем ( a ) целым. Поэтому в любом случае, если ( k + 1 ) и ( k^2 + 2k ) — целые, то ( a ) должно быть целым.

Таким образом, используя условия целочисленности для указанных выражений, мы можем заключить, что ( a ) должно быть целым. Это и требовалось доказать.