Для того чтобы найти расстояние от вершины $A$ до плоскости $KMN$, сначала рассмотрим расположение точек и координаты вершин пирамиды $DABC$.

Рассмотрим вершину пирамиды $A$ как точку $(0,0,h)$, где $h$ — высота, равная длине ребра $AD$, и в нашем случае $h=2\sqrt{5}$.

Определим остальные точки в пространстве. Из условия задачи известно, что:

Предположим, что точка $B$ находится в координатах $(10,0,0)$, а точка $C$ — в $(0,10,0)$. Найдем координаты точки $D$ на оси $z$: $D(0,0,2\sqrt{5})$.

Теперь найдем координаты точек $K,M,N$:

Точка $K$ — середина ребра $AB$:
$$K\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+0}{2},\frac{h+0}{2}\right)=K\left(5,0,\sqrt{5}\right)$$

Точка $M$ — середина ребра $AC$:
$$M\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+10}{2},\frac{h+0}{2}\right)=M\left(0,5,\sqrt{5}\right)$$

Точка $N$ — середина ребра $AD$:
$$N\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+h}{2}\right)=N\left(0,0,\sqrt{5}\right)$$

Теперь у нас есть координаты точек $K(5,0,\sqrt{5})$, $M(0,5,\sqrt{5})$ и $N(0,0,\sqrt{5})$.

Теперь необходимо найти уравнение плоскости $KMN$. Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$$KM=M-K=(0-5,5-0,\sqrt{5}-\sqrt{5})=(-5,5,0)$$

$$KN=N-K=(0-5,0-0,\sqrt{5}-\sqrt{5})=(-5,0,0)$$

Теперь найдем векторное произведение $KM$ и $KN$:

KM→×KN→=∣i^amp;j^amp;k^ −5amp;5amp;0 −5amp;0amp;0∣=(0⋅0−0⋅5)i^−(0⋅−5−0⋅−5)j^+(−5⋅0−(−5)⋅5)k^=0i^−0j^+25k^=(0,0,25) \overrightarrow{KM} \times \overrightarrow{KN} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-5 & 5 & 0 \
-5 & 0 & 0
\end{vmatrix} =
(0 \cdot 0 - 0 \cdot 5)\hat{i} - (0 \cdot -5 - 0 \cdot -5)\hat{j} + (-5 \cdot 0 - (-5) \cdot 5)\hat{k} =
0\hat{i} - 0\hat{j} + 25\hat{k} = (0, 0, 25)
KM×KN= i^ amp;j^ amp;k^ −5 amp;5 amp;0 −5 amp;0 amp;0 =(0⋅0−0⋅5)i^−(0⋅−5−0⋅−5)j^ +(−5⋅0−(−5)⋅5)k^=0i^−0j^ +25k^=(0,0,25)

Таким образом, к нормальный вектор плоскости $KMN$ — это $(0,0,25)$.

Уравнение плоскости в общем виде:

$$0(x-x_0)+0(y-y_0)+25(z-z_0)=0.$$

Плоскость проходит через точку $K(5,0,\sqrt{5})$, следовательно, уравнение плоскости можно записать как:

$$z=\sqrt{5}$$

Теперь найдем расстояние от точки $A(0,0,2\sqrt{5})$ до плоскости $z=\sqrt{5}$:

Расстояние $d$ вычисляется по формуле:

$$d=|z_A-z_P|=|2\sqrt{5}-\sqrt{5}|=|(2-1)\sqrt{5}|=\sqrt{5}.$$

Таким образом, расстояние от вершины $A$ до плоскости $KMN$:

$$\boxed{\sqrt{5}}.$$