В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине A, где AB и AC — катеты. Мы знаем, что медиана из вершины прямого угла $A$ равна $\sqrt{10}$ и тангенс угла B равен 2.

Сначала, обозначим длины катетов:

Согласно условию, $\tan B=2$, следовательно:
$$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}=2⟹b=2c$$

Теперь мы можем выразить медиану. Длина медианы $m_a$ из вершины A в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:
$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$ где $a$ — гипотенуза, а $b$ и $c$ — катеты.

Однако в прямоугольном треугольнике для гипотенузы $a$ справедливо:
$$a=\sqrt{b^2+c^2}$$

Подставим $b=2c$ в формулу для гипотенузы:
$$a=\sqrt{(2c{)}^2+c^2}=\sqrt{4c^2+c^2}=\sqrt{5c^2}=c\sqrt{5}$$

Теперь подставим $b$, $c$ и $a$ в формулу длины медианы:
$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(2c{)}^2+2c^2-(c\sqrt{5}{)}^2}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 4c^2+2c^2-5c^2}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{8c^2+2c^2-5c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5c^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}c$$

Согласно условию, эта медиана равна $\sqrt{10}$:
$$\frac{\sqrt{5}}{2}c=\sqrt{10}$$

Умножим обе стороны на 2:
$$\sqrt{5}c=2\sqrt{10}$$ Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{5}$:
$$c=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=2\sqrt{2}$$

Теперь найдем $b$:
$$b=2c=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABC:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot c\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}$$ $$=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=\frac{16}{2}=8$$

Итак, площадь треугольника ABC равна $8$.