Для решения задачи используем данные и формулы тригонометрии.

Дано:

( BC = 24 )( \sin A = \frac{4}{5} )Внешний угол при вершине ( C ) равен ( 150^\circ ).

Внешний угол ( C ) равен ( 180^\circ - \angle C ). Таким образом, угол ( C ) равен:
[
\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ.
]

Теперь мы можем применить закон синусов, который гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где ( a = BC ), ( b = CA ), ( c = AB ), и ( A, B, C ) – углы, противоположные соответствующим сторонам.

Пусть ( AB = c ) и ( CA = b ).

Так как мы знаем ( BC = a = 24 ) и ( \angle C = 30^\circ ), мы можем найти синус угла ( C ):
[
\sin C = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
]

Теперь используем закон синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}.
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{24}{\frac{4}{5}} = \frac{c}{\frac{1}{2}}.
]

Сначала найдем значение ( \frac{24}{\frac{4}{5}} ):
[
\frac{24}{\frac{4}{5}} = 24 \cdot \frac{5}{4} = 30.
]

Теперь подставим это значение в формулу:
[
30 = \frac{c}{\frac{1}{2}}.
]

Чтобы найти ( c ), умножим обе стороны уравнения на ( \frac{1}{2} ):
[
c = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15.
]

Таким образом, длина стороны ( AB ) равна:
[
\boxed{15}.
]